Considere a região R , delimitada pelas curvas x=(y-4)^{2} e x=4. Seja S o sólido obtido pela rotação da região R em torno de y=2.
(a) (1,0 pt) Esboce a região R e calcule a sua área.
(b) ( 1,5 pts) Expresse o volume de S usando o método dos discos ou fatías (Não precisa calcular a integral).
(c) (1,5 pts) Expresse o volume de S usando o método das cascas cilíndricas (Não precisa calcular a integral).

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Duas curvas que delimitam a região R:
    • x=(y-4)^{2} (parábola com vértice em x=0,y=4, abrindo para a direita);
    • x=4 (reta vertical).
  • O sólido S é obtido pela rotação da região R em torno da reta y=2.
    O enunciado pede:
    (a) esboçar a região R e calcular a sua área;
    (b) escrever uma expressão para o volume de S usando o método dos discos/fatias (não é necessário calcular a integral);
    (c) escrever uma expressão para o volume de S usando o método das cascas cilíndricas (não é necessário calcular a integral).
Informações úteis obtidas das curvas:
  • Interseção entre x=(y-4)^{2} e x=4 ocorre quando (y-4)^{2}=4, logo y-4=\pm2 e portanto os pontos de interseção têm y=2 e y=6.
  • Para y entre 2 e 6, tem-se (y-4)^{2}\le 4, então a região R é limitada à esquerda por x=(y-4)^{2} e à direita por x=4.

Passo 2

Esboço descritivo (como desenhar rapidamente):
  • Desenhar o eixo y vertical e o eixo x horizontal.
  • Marcar o vértice da parábola em (0,4). A parábola x=(y-4)^{2} é simétrica em torno da reta y=4 e cresce em x quando y se afasta de 4.
  • Desenhar a reta vertical x=4.
  • Marcar as interseções em y=2 (ponto (4,2)) e em y=6 (ponto (4,6)).
  • A região R é a “faixa” entre a parábola (à esquerda) e a reta x=4 (à direita), com 2\le y\le 6.
    (Isto é o esboço pedido; a descrição acima permite traçar o gráfico à mão.)

Passo 3

Montagem da integral para a área (explicando a ideia):
  • Quando as curvas são dadas como x em função de y, é natural integrar em y.
  • Fórmula do intervalo entre duas curvas em função de y: a área é
\text{Área}=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\bigl(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\bigr)\,dy.Á
  • Aqui x_{\text{direita}}(y)=4 e x_{\text{esquerda}}(y)=(y-4)^{2}. Os limites em y são 2 e 6.
  • Portanto a integral que dá a área é
\text{Área}=\int_{2}^{6}\bigl(4-(y-4)^{2}\bigr)\,dy.Á

Passo 4

Cálculo passo a passo da área:
  • Expandir o integrando:
4-(y-4)^{2}=4-\bigl(y^{2}-8y+16\bigr)=-y^{2}+8y-12.
  • Integrar termo a termo:
\int(-y^{2}+8y-12)\,dy=-\frac{1}{3}y^{3}+4y^{2}-12y + C.
  • Avaliar de y=2 a y=6:
\Bigl[-\frac{1}{3}y^{3}+4y^{2}-12y\Bigr]_{2}^{6} = \Bigl(-\frac{1}{3}\cdot 6^{3}+4\cdot6^{2}-12\cdot6\Bigr) - \Bigl(-\frac{1}{3}\cdot 2^{3}+4\cdot2^{2}-12\cdot2\Bigr).
  • Calcular cada termo:
-\frac{1}{3}\cdot 6^{3}=-\frac{1}{3}\cdot216=-72,\quad 4\cdot6^{2}=144,\quad -12\cdot6=-72,
logo o valor em y=6 é -72+144-72=0.
-\frac{1}{3}\cdot 2^{3}=-\frac{8}{3},\quad 4\cdot2^{2}=16,\quad -12\cdot2=-24,
logo o valor em y=2 é -\frac{8}{3}+16-24=-\frac{32}{3}.
  • Subtraindo: 0-(-\tfrac{32}{3})=\tfrac{32}{3}.
  • Portanto a área da região R é \displaystyle \frac{32}{3}.

Passo 5

Volume por discos / fatias (método das seções perpendiculares ao eixo de rotação):
  • Ideia: para o método dos discos/anel (washers) corta-se por planos perpendiculares ao eixo de rotação. A reta de rotação é y=2 (horizontal), portanto os cortes perpendiculares são verticais; então é conveniente trabalhar com x como variável de integração.
  • Para um dado x fixo entre 0 e 4, a região tem y variando entre as duas soluções de x=(y-4)^{2}, que são
y=4\pm\sqrt{x}.
  • Ao girar o segmento vertical entre y=4-\sqrt{x} e y=4+\sqrt{x} em torno de y=2 obtemos um anel (washer) cuja:
    • R(x) (raio externo) = distância de y=4+\sqrt{x} a y=2, isto é R(x)=4+\sqrt{x}-2=2+\sqrt{x}.
    • r(x) (raio interno) = distância de y=4-\sqrt{x} a y=2, isto é r(x)=4-\sqrt{x}-2=2-\sqrt{x}.
  • Área da seção transversal (anel) é \pi\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr).
  • Logo o volume é
V=\int_{x=0}^{4}\pi\Bigl[(2+\sqrt{x})^{2}-(2-\sqrt{x})^{2}\Bigr]\,dx.
  • Observação (opcional, simplificação do integrando): (2+\sqrt{x})^{2}-(2-\sqrt{x})^{2}=8\sqrt{x}, então uma forma mais compacta é
V=8\pi\int_{0}^{4}x^{1/2}\,dx.
(Não é pedido calcular a integral; a expressão acima é a resposta pelo método dos discos.)

Passo 6

Volume por cascas cilíndricas (método das cascas paralelas ao eixo de rotação):
  • Ideia: para cascas cilíndricas cortamos paralelamente ao eixo de rotação. A reta y=2 é horizontal, então as cascas vêm de fatias horizontais — integraremos em y.
  • Para um dado y entre 2 e 6, a fatia horizontal tem comprimento em x igual a
\text{altura da casca} = x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=4-(y-4)^{2}.
  • O raio da casca (distância do segmento horizontal até a reta y=2) é |y-2|=y-2 (pois y\ge2 no intervalo).
  • Volume de uma casca de espessura dy: dV=2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot dy = 2\pi (y-2)\bigl(4-(y-4)^{2}\bigr)\,dy.
  • Integrando de y=2 a y=6 obtemos
V=\int_{2}^{6}2\pi (y-2)\bigl(4-(y-4)^{2}\bigr)\,dy.
(Esta é a expressão pedida pelo método das cascas; novamente não é necessário calcular a integral.)

Resposta

(a) Esboço: região entre x=(y-4)^{2} (à esquerda) e x=4 (à direita), para 2\le y\le 6. Área: \displaystyle \frac{32}{3}.
(b) Volume por discos/washers:
V=\int_{0}^{4}\pi\Bigl[(2+\sqrt{x})^{2}-(2-\sqrt{x})^{2}\Bigr]\,dx
(ou equivalentemente \displaystyle V=8\pi\int_{0}^{4}x^{1/2}\,dx).
(c) Volume por cascas cilíndricas:
V=\int_{2}^{6}2\pi (y-2)\bigl(4-(y-4)^{2}\bigr)\,dy.

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