Considere a região R , delimitada pelas curvas
e
. Seja S o sólido obtido pela rotação da região R em torno de
.
(a) (1,0 pt) Esboce a região R e calcule a sua área.
(b) ( 1,5 pts) Expresse o volume de S usando o método dos discos ou fatías (Não precisa calcular a integral).
(c) (1,5 pts) Expresse o volume de S usando o método das cascas cilíndricas (Não precisa calcular a integral).
(a) (1,0 pt) Esboce a região R e calcule a sua área.
(b) ( 1,5 pts) Expresse o volume de S usando o método dos discos ou fatías (Não precisa calcular a integral).
(c) (1,5 pts) Expresse o volume de S usando o método das cascas cilíndricas (Não precisa calcular a integral).
Passo 1
O enunciado fornece:
- Duas curvas que delimitam a região
: -
(parábola com vértice em , abrindo para a direita); -
(reta vertical).
-
- O sólido
é obtido pela rotação da região em torno da reta .
O enunciado pede:
(a) esboçar a regiãoe calcular a sua área;
(b) escrever uma expressão para o volume deusando o método dos discos/fatias (não é necessário calcular a integral);
(c) escrever uma expressão para o volume deusando o método das cascas cilíndricas (não é necessário calcular a integral).
Informações úteis obtidas das curvas:
- Interseção entre
e ocorre quando , logo e portanto os pontos de interseção têm e . - Para
entre e , tem-se , então a região é limitada à esquerda por e à direita por .
Passo 2
Esboço descritivo (como desenhar rapidamente):
- Desenhar o eixo
vertical e o eixo horizontal. - Marcar o vértice da parábola em
. A parábola é simétrica em torno da reta e cresce em quando se afasta de . - Desenhar a reta vertical
. - Marcar as interseções em
(ponto ) e em (ponto ). - A região
é a “faixa” entre a parábola (à esquerda) e a reta (à direita), com .
(Isto é o esboço pedido; a descrição acima permite traçar o gráfico à mão.)
Passo 3
Montagem da integral para a área (explicando a ideia):
- Quando as curvas são dadas como
em função de , é natural integrar em . - Fórmula do intervalo entre duas curvas em função de
: a área é
- Aqui
e . Os limites em são e . - Portanto a integral que dá a área é
Passo 4
Cálculo passo a passo da área:
- Expandir o integrando:
- Integrar termo a termo:
- Avaliar de
a :
- Calcular cada termo:
logo o valor em
é
.
logo o valor em
é
.
- Subtraindo:
. - Portanto a área da região
é .
Passo 5
Volume por discos / fatias (método das seções perpendiculares ao eixo de rotação):
- Ideia: para o método dos discos/anel (washers) corta-se por planos perpendiculares ao eixo de rotação. A reta de rotação é
(horizontal), portanto os cortes perpendiculares são verticais; então é conveniente trabalhar com como variável de integração. - Para um dado
fixo entre e , a região tem variando entre as duas soluções de , que são
- Ao girar o segmento vertical entre
e em torno de obtemos um anel (washer) cuja: -
(raio externo) = distância de a , isto é . -
(raio interno) = distância de a , isto é .
-
- Área da seção transversal (anel) é
. - Logo o volume é
- Observação (opcional, simplificação do integrando):
, então uma forma mais compacta é
(Não é pedido calcular a integral; a expressão acima é a resposta pelo método dos discos.)
Passo 6
Volume por cascas cilíndricas (método das cascas paralelas ao eixo de rotação):
- Ideia: para cascas cilíndricas cortamos paralelamente ao eixo de rotação. A reta
é horizontal, então as cascas vêm de fatias horizontais — integraremos em . - Para um dado
entre e , a fatia horizontal tem comprimento em igual a
- O raio da casca (distância do segmento horizontal até a reta
) é (pois no intervalo). - Volume de uma casca de espessura
: . - Integrando de
a obtemos
(Esta é a expressão pedida pelo método das cascas; novamente não é necessário calcular a integral.)
Resposta
(a) Esboço: região entre
(à esquerda) e
(à direita), para
. Área:
.
(b) Volume por discos/washers:
(ou equivalentemente
).
(c) Volume por cascas cilíndricas: