(3,0) Indique verdadeiro (V) ou falso (F) em cada item, justificando sua resposta.
400+300+200+100 \equiv 1(\bmod 47).

Passo 1

O enunciado pede que eu indique se a afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando:
400+300+200+100 \equiv 1 \pmod{47}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A soma dos números é \,400+300+200+100.
  • Preciso verificar se essa soma é congruente a \,1 módulo \,47, ou seja, se a diferença entre a soma e \,1 é divisível por \,47.

Passo 2

Relembrando a definição útil (mini-aula): dizemos que
a \equiv b \pmod{n}
se, e somente se,
n \mid (a-b),
ou seja, se (a-b) é múltiplo de n. Alternativamente, isso significa que a e b deixam o mesmo resto na divisão por n. Essas duas interpretações são equivalentes e as usaremos.

Passo 3

Primeiro calculemos a soma para trabalhar com um número só. Em bloco:
400+300+200+100 = 1000.

Passo 4

Método direto: calcular o resto de \,1000 na divisão por \,47.
Calculo uma aproximação por multiplicação inteira:
47\cdot 20 = 940,\qquad 47\cdot 21 = 940+47 = 987.
Subtraindo:
1000-987 = 13.
Portanto o resto da divisão de \,1000 por \,47 é \,13, e escrevemos
1000 \equiv 13 \pmod{47}.
Como \,13 \neq 1, a congruência dada não é verdadeira.

Passo 5

Método alternativo (útil na prova): reduzir cada termo antes de somar — isso às vezes evita multiplicações grandes.
Calcule restos individuais (pegando os dados dos números originais):
400 \div 47:\\\ 47\cdot 8 = 376,\\ \text{resto }24\\ \Rightarrow\\\ 400\equiv 24\pmod{47},
300 \div 47:\\\ 47\cdot 6 = 282,\\ \text{resto }18\\ \Rightarrow\\\ 300\equiv 18\pmod{47},
200 \div 47:\\\ 47\cdot 4 = 188,\\ \text{resto }12\\ \Rightarrow\\\ 200\equiv 12\pmod{47},
100 \div 47:\\\ 47\cdot 2 = 94,\\ \text{resto }6\\ \Rightarrow\\\ 100\equiv 6\pmod{47}.
Somando os restos:
24+18+12+6 = 60.
Reduzindo 60 módulo 47:
60 = 47\cdot 1 + 13 \quad\Rightarrow\quad 60\equiv 13\pmod{47}.
Novamente obtemos 1000\equiv 13\pmod{47}, confirmando o resultado anterior.

Passo 6

Conclusão lógica pela definição: a afirmação exigiria que 47 dividisse 1000-1=999. Mas 999 não é múltiplo de 47 (pois 47\cdot21=987 e 47\cdot22=1034), então 47\nmid 999. Portanto a congruência é falsa.

Resposta

F

Exercícios relacionados