Mostre que:
Prove que:
Prove que, se p>3 é um número primo, entāo p^{2}+2 é composto.

Passo 1

O enunciado dá a informação e pede o seguinte:
  • Dado um número primo p tal que p>3.
  • Demonstrar que o número p^{2}+2 é composto (ou seja, não é primo).
Essas são todas as informações que o enunciado fornece e a pergunta que precisamos responder.

Passo 2

Vou lembrar e explicar um conceito simples e muito útil: congruência módulo n.
  • Dizemos que dois inteiros a e b são congruentes módulo n e escrevemos a\equiv b\pmod{n} quando n divide a diferença a-b.
  • Uma propriedade importante: se a\equiv b\pmod{n} então a^2\equiv b^2\pmod{n}. Em outras palavras, podemos reduzir números módulo n antes de elevá-los ao quadrado.
Vou usar isso com n=3 porque 3 é pequeno e útil para ver divisibilidade por 3.

Passo 3

Observação sobre o primo p: como p é primo e p>3, então p não é divisível por 3. Isso significa que o resto da divisão de p por 3 é ou 1 ou 2. Em notação de congruência isso é:
  • ou p\equiv 1\pmod{3},
  • ou p\equiv 2\pmod{3}.
(Se p fosse congruente a 0\pmod{3} então 3 dividiria p, e o único primo com isso é 3 — mas aqui temos p>3, então isso não ocorre.)

Passo 4

Agora vamos calcular o quadrado de p módulo 3. Usando a propriedade do passo anterior:
  • Se p\equiv 1\pmod{3}, então p^{2}\equiv 1^{2}\equiv 1\pmod{3}.
  • Se p\equiv 2\pmod{3}, então p^{2}\equiv 2^{2}\equiv 4\equiv 1\pmod{3} (porque 4-1=3 é múltiplo de 3).
Portanto, em ambos os casos temos
p^{2}\equiv 1\pmod{3}.

Passo 5

Somando 2 aos dois lados da congruência do passo anterior, obtemos
p^{2}+2 \equiv 1+2 \equiv 3 \equiv 0\pmod{3}.
Isto significa que 3 divide p^{2}+2. Em outras palavras, p^{2}+2 é múltiplo de 3.

Passo 6

Se um número é múltiplo de 3 isso não garante sozinho que ele seja composto: poderia ser exatamente 3. Então precisamos verificar que p^{2}+2 não é igual a 3.
Como p>3, temos p\ge 5. Então
p^{2}+2 \ge 5^{2}+2 = 25+2 = 27,
portanto p^{2}+2>3. Logo, p^{2}+2 é um múltiplo de 3 maior que 3, isto é, tem um divisor próprio 3 além de 1 e dele mesmo.

Passo 7

Concluímos que para todo primo p>3 o número p^{2}+2 é divisível por 3 e maior que 3. Logo p^{2}+2 possui um divisor não-trivial (o 3), portanto é composto.

Resposta

Para todo primo p>3, p^{2}+2 é composto.

Exercícios relacionados