Mostre que:
Prove que:
Prove que, se
é um número primo, entāo
é composto.
Prove que:
Prove que, se
Passo 1
O enunciado dá a informação e pede o seguinte:
- Dado um número primo
tal que . - Demonstrar que o número
é composto (ou seja, não é primo).
Essas são todas as informações que o enunciado fornece e a pergunta que precisamos responder.
Passo 2
Vou lembrar e explicar um conceito simples e muito útil: congruência módulo
.
- Dizemos que dois inteiros
e são congruentes módulo e escrevemos quando divide a diferença . - Uma propriedade importante: se
então . Em outras palavras, podemos reduzir números módulo antes de elevá-los ao quadrado.
Vou usar isso com
porque
é pequeno e útil para ver divisibilidade por
.
Passo 3
Observação sobre o primo
: como
é primo e
, então
não é divisível por
. Isso significa que o resto da divisão de
por
é ou
ou
. Em notação de congruência isso é:
- ou
, - ou
.
(Se
fosse congruente a
então
dividiria
, e o único primo com isso é
— mas aqui temos
, então isso não ocorre.)
Passo 4
Agora vamos calcular o quadrado de
módulo
. Usando a propriedade do passo anterior:
- Se
, então . - Se
, então (porque é múltiplo de ).
Portanto, em ambos os casos temos
Passo 5
Somando
aos dois lados da congruência do passo anterior, obtemos
Isto significa que
divide
. Em outras palavras,
é múltiplo de
.
Passo 6
Se um número é múltiplo de
isso não garante sozinho que ele seja composto: poderia ser exatamente
. Então precisamos verificar que
não é igual a
.
Como
, temos
. Então
portanto
. Logo,
é um múltiplo de
maior que
, isto é, tem um divisor próprio
além de
e dele mesmo.
Passo 7
Concluímos que para todo primo
o número
é divisível por
e maior que
. Logo
possui um divisor não-trivial (o
), portanto é composto.
Resposta
Para todo primo
,
é composto.