Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 4
\int \frac{2 x^{4}+5 x^{2}+2 x+3}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2 x^{4}+5 x^{2}+2 x+3}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}\,dx.
Informações dadas:
\text{Numerador: }2x^{4}+5x^{2}+2x+3,
\text{Denominador: }\left(x^{2}+1\right)^{3}\\ (\text{quadrática irreducível, multiplicidade }3).áí
A integral é de uma função racional adequada (grau do numerador menor que o do denominador), portanto podemos decompor em frações parciais apropriadas para um denominador quadrático repetido. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Escrevemos a decomposição em frações parciais apropriada para um fator quadrático repetido. Como o denominador é \left(x^{2}+1\right)^{3}, a forma geral é
\frac{2 x^{4}+5 x^{2}+2 x+3}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} =\frac{A x+B}{x^{2}+1}+\frac{C x+D}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}+\frac{E x+F}{\left(x^{2}+1\right)^{3}},
onde A,B,C,D,E,F são constantes a determinar. Essa é a forma padrão: para cada potência k do fator quadrático (x^2+1)^k incluímos um termo (\alpha x+\beta)/(x^2+1)^k.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por \left(x^{2}+1\right)^{3}\) para obter uma identidade polinomial: \[2 x^{4}+5 x^{2}+2 x+3=(A x+B)\,(x^{2}+1)^{2}+(C x+D)\,(x^{2}+1)+(E x+F).
Expandimos (x^{2}+1)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1 e desenvolvemos os produtos. Primeiro,
(A x+B)(x^{4}+2x^{2}+1)=A x^{5}+2A x^{3}+A x+B x^{4}+2B x^{2}+B.
E
(C x+D)(x^{2}+1)=C x^{3}+C x + D x^{2}+D.
Somando tudo (e incluindo E x+F) obtemos o polinômio total
\begin{aligned} & x^{5}\text{ coef: } & A,\\\ & x^{4}\text{ coef: } & B,\\\ & x^{3}\text{ coef: } & 2A + C,\\\ & x^{2}\text{ coef: } & 2B + D,\\\ & x^{1}\text{ coef: } & A + C + E,\\\ & x^{0}\text{ coef: } & B + D + F. \end{aligned}
Comparando com o polinômio do lado esquerdo 2x^{4}+0x^{3}+5x^{2}+2x+3, obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} A = 0,\\[4pt] B = 2,\\[4pt] 2A + C = 0,\\[4pt] 2B + D = 5,\\[4pt] A + C + E = 2,\\[4pt] B + D + F = 3. \end{cases}
Substituindo A=0\] e \(B=2 nas demais equações:
\begin{aligned} 2A + C = 0 &\Rightarrow C = 0,\\\\ 2B + D = 5 &\Rightarrow 4 + D = 5 \Rightarrow D = 1,\\\ A + C + E = 2 &\Rightarrow 0 + 0 + E = 2 \Rightarrow E = 2,\\\ B + D + F = 3 &\Rightarrow 2 + 1 + F = 3 \Rightarrow F = 0. \end{aligned}
Logo as constantes são
A=0,\; B=2,\; C=0,\; D=1,\; E=2,\; F=0.]

Passo 4

Substituímos as constantes na decomposição obtendo:
\frac{2 x^{4}+5 x^{2}+2 x+3}{(x^{2}+1)^{3}} =\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}+\frac{2x}{(x^{2}+1)^{3}}.
Portanto a integral original se separa em três integrais mais simples:
\int \frac{2 x^{4}+5 x^{2}+2 x+3}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = \int \frac{2}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx + \int \frac{2x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx.

Passo 5

Calculamos a primeira integral:
\int \frac{2}{x^{2}+1}\,dx = 2\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Lembrando que \dfrac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\dfrac{1}{1+x^{2}}, temos
\int \frac{2}{x^{2}+1}\,dx = 2\arctan x.

Passo 6

Agora a segunda integral
\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Vamos derivar uma identidade útil. Observe que
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right) =\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Queremos integrar \dfrac{1}{(x^{2}+1)^{2}}. Podemos escrever
\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\right).
Verifique multiplicando por 2: o lado direito fica \dfrac{1}{x^{2}+1}+\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{1}{x^{2}+1}, e com o fator 1/2 volta a ser \dfrac{1}{(x^{2}+1)^{2}}. Portanto
\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx +\frac{1}{2}\int \frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Usando a derivada acima, \dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x}{x^{2}+1}\right). Assim
\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1} + C.
(Coloquei a constante C apenas nesta integral; na soma final unificaremos as constantes.)

Passo 7

Calculamos a terceira integral
\int \frac{2x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx.
Façamos a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx. A integral fica
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2u^{2}}.
Voltando a x,
\int \frac{2x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = -\frac{1}{2(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 8

Somamos os três resultados obtidos:
\begin{aligned} \int \frac{2 x^{4}+5 x^{2}+2 x+3}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx &= 2\arctan x + \left(\frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(x^{2}+1)}\right) - \frac{1}{2(x^{2}+1)^{2}} + C\\[6pt] &= \frac{5}{2}\arctan x + \frac{x}{2(x^{2}+1)} - \frac{1}{2(x^{2}+1)^{2}} + C, \end{aligned}
onde C é a constante de integração. Essa é a primitiva simplificada.]

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}\arctan x+\frac{x}{2(x^{2}+1)}-\frac{1}{2(x^{2}+1)^{2}}+C

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