A integral é de uma função racional adequada (grau do numerador menor que o do denominador), portanto podemos decompor em frações parciais apropriadas para um denominador quadrático repetido. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Escrevemos a decomposição em frações parciais apropriada para um fator quadrático repetido. Como o denominador é \left(x^{2}+1\right)^{3}, a forma geral é
onde A,B,C,D,E,F são constantes a determinar. Essa é a forma padrão: para cada potência k do fator quadrático (x^2+1)^k incluímos um termo (\alpha x+\beta)/(x^2+1)^k.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por \left(x^{2}+1\right)^{3}\) para obter uma identidade polinomial:
\[2 x^{4}+5 x^{2}+2 x+3=(A x+B)\,(x^{2}+1)^{2}+(C x+D)\,(x^{2}+1)+(E x+F).
Expandimos (x^{2}+1)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1 e desenvolvemos os produtos. Primeiro,
(A x+B)(x^{4}+2x^{2}+1)=A x^{5}+2A x^{3}+A x+B x^{4}+2B x^{2}+B.
E
(C x+D)(x^{2}+1)=C x^{3}+C x + D x^{2}+D.
Somando tudo (e incluindo E x+F) obtemos o polinômio total
\begin{aligned} & x^{5}\text{ coef: } & A,\\\ & x^{4}\text{ coef: } & B,\\\ & x^{3}\text{ coef: } & 2A + C,\\\ & x^{2}\text{ coef: } & 2B + D,\\\ & x^{1}\text{ coef: } & A + C + E,\\\ & x^{0}\text{ coef: } & B + D + F. \end{aligned}
Comparando com o polinômio do lado esquerdo 2x^{4}+0x^{3}+5x^{2}+2x+3, obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} A = 0,\\[4pt] B = 2,\\[4pt] 2A + C = 0,\\[4pt] 2B + D = 5,\\[4pt] A + C + E = 2,\\[4pt] B + D + F = 3. \end{cases}
Substituindo A=0\] e \(B=2 nas demais equações:
\begin{aligned} 2A + C = 0 &\Rightarrow C = 0,\\\\ 2B + D = 5 &\Rightarrow 4 + D = 5 \Rightarrow D = 1,\\\ A + C + E = 2 &\Rightarrow 0 + 0 + E = 2 \Rightarrow E = 2,\\\ B + D + F = 3 &\Rightarrow 2 + 1 + F = 3 \Rightarrow F = 0. \end{aligned}
Logo as constantes são
A=0,\; B=2,\; C=0,\; D=1,\; E=2,\; F=0.]
Passo 4
Substituímos as constantes na decomposição obtendo:
Verifique multiplicando por 2: o lado direito fica \dfrac{1}{x^{2}+1}+\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{1}{x^{2}+1}, e com o fator 1/2 volta a ser \dfrac{1}{(x^{2}+1)^{2}}. Portanto