Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 3
\int \frac{3 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{3x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando}=\frac{3x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)},\quad\text{o denominador é }(x^{2}+1)(x^{2}+4).é
Objetivo: encontrar uma antiderivada explícita (a integral indefinida) dessa função racional.

Passo 2

Verificação inicial e escolha da forma de frações parciais.
O numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 4, logo a fração é própria (não precisa dividir polinômios). Cada fator do denominador é um quadrático irreduzível real \left(x^{2}+1\right) e \left(x^{2}+4\right). Para cada fator quadrático irreduzível usamos um numerador linear. Assim propomos a decomposição
\frac{3x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+4},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 3

Limpar denominadores e escrever a identidade polinomial.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x^{2}+4) obtemos a identidade
3x+1=(Ax+B)(x^{2}+4)+(Cx+D)(x^{2}+1).

Passo 4

Expandir o lado direito e agrupar termos por potências de x.
Expandindo:
(Ax+B)(x^{2}+4)=A x^{3}+B x^{2}+4A x+4B,
(Cx+D)(x^{2}+1)=C x^{3}+D x^{2}+C x+D.
Somando:
(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(4A+C)x+(4B+D).
Portanto a identidade polinomial é
3x+1=(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(4A+C)x+(4B+D).

Passo 5

Igualar coeficientes das potências de x.
Comparando coeficientes com o polinômio à esquerda 3x+1 (que tem coeficiente zero para x^{3} e x^{2}), obtemos o sistema
\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] B+D=0,\\[4pt] 4A+C=3,\\[4pt] 4B+D=1. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para A,B,C,D.
Da primeira equação A+C=0 segue C=-A. Substituindo em 4A+C=3
4A+(-A)=3 \Longrightarrow 3A=3 \Longrightarrow A=1.
Logo C=-1.
Da segunda equação B+D=0 segue D=-B. Substituindo em 4B+D=1
4B+(-B)=1 \Longrightarrow 3B=1 \Longrightarrow B=\frac{1}{3}.
Logo D=-\frac{1}{3}.
Portanto
A=1,\quad B=\frac{1}{3},\quad C=-1,\quad D=-\frac{1}{3}.

Passo 7

Escrever a decomposição final das frações parciais.
Substituindo os valores encontrados:
\frac{3x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\frac{x+\frac{1}{3}}{x^{2}+1}+\frac{-x-\frac{1}{3}}{x^{2}+4}.
Ou, reescrevendo termos separados,
\frac{3x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{x}{x^{2}+4}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}.

Passo 8

Separar a integral em somas de integrais mais simples.
Assim
\int \frac{3x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}\,dx =\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx-\int\frac{x}{x^{2}+4}\,dx-\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^{2}+4}\,dx.
Vamos calcular cada uma das quatro integrais separadamente.

Passo 9

Calcular \displaystyle \int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Use a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, ou x\,dx=\frac{1}{2}du. Portanto
\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\int\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\ln|u|+C=\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+1\right)+C.
Como x^{2}+1>0 podemos omitir as barras no resultado final se quisermos.

Passo 10

Calcular \displaystyle \frac{1}{3}\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
A integral básica
\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x + C.
Multiplicando pela constante \tfrac{1}{3} obtemos
\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{3}\arctan x + C.

Passo 11

Calcular \displaystyle -\int\frac{x}{x^{2}+4}\,dx.
Usamos substituição semelhante: seja v=x^{2}+4. Então dv=2x\,dx, ou x\,dx=\tfrac{1}{2}dv. Assim
-\int\frac{x}{x^{2}+4}\,dx=-\int\frac{1}{v}\cdot\frac{1}{2}\,dv=-\frac{1}{2}\ln|v|+C=-\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+4\right)+C.

Passo 12

Calcular \displaystyle -\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^{2}+4}\,dx.
Lembre que para a>0 vale
\int\frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
Aqui a^{2}=4 então a=2. Logo
\int\frac{1}{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.
Multiplicando por -\tfrac{1}{3}
-\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^{2}+4}\,dx=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)=-\frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.

Passo 13

Juntar os resultados parciales e escrever a antiderivada completa.
Somando as quatro parcelas (e agrupando as constantes +C numa só) obtemos
\int \frac{3x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}\,dx =\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\frac{1}{3}\arctan x-\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+4\right)-\frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.
Opcionalmente podemos combinar os logaritmos:
\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4}\right)+\frac{1}{3}\arctan x-\frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\frac{1}{3}\arctan x-\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+4\right)-\frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C

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