Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 3
\int \frac{2 x^{2}+3}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+9\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2 x^{2}+3}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+9\right)}\,dx.
Informações dadas:
\;2 x^{2}+3 é o numerador e o denominador é o produto \left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+9\right).
O objetivo é encontrar uma primitiva (a integral indefinida) dessa função racional.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): vamos usar o método das frações parciais. Quando o denominador é produto de fatores quadráticos irreduzíveis distintos, \left(x^{2}+a^{2}\right) e \left(x^{2}+b^{2}\right), a decomposição geral é
\frac{P(x)}{(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}=\frac{A x+B}{x^{2}+a^{2}}+\frac{C x+D}{x^{2}+b^{2}},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Aqui usamos esse formato porque cada fator quadrático exige um numerador linear geral (Ax+B). Não podemos usar raízes reais para simplificar (os quadrados somam), então esse é o caminho.

Passo 3

Aplicando a forma ao nosso caso, supomos que exista
\frac{2 x^{2}+3}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}=\frac{A x+B}{x^{2}+1}+\frac{C x+D}{x^{2}+9}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x^{2}+9) obtemos a identidade polinomial
2 x^{2}+3=(A x+B)(x^{2}+9)+(C x+D)(x^{2}+1).

Passo 4

Vamos expandir o lado direito e agrupar termos por potências de x.
Primeiro
(A x+B)(x^{2}+9)=A x^{3}+B x^{2}+9 A x+9 B,
e
(C x+D)(x^{2}+1)=C x^{3}+D x^{2}+C x+D.
Somando:
(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(9A+C)x+(9B+D).
Essa soma deve ser igual a 2 x^{2}+3, que é
0\cdot x^{3}+2\cdot x^{2}+0\cdot x+3.
Comparando coeficientes de cada potência de x obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] B+D=2,\\[4pt] 9A+C=0,\\[4pt] 9B+D=3. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema (faça passo a passo):
Das duas equações com A e C:
A+C=0\quad\text{e}\quad 9A+C=0.
Subtraindo a primeira da segunda obtemos
(9A+C)-(A+C)=8A=0 \implies A=0.
Com A=0 segue C=0.
Agora as equações com B e D:
B+D=2\quad\text{e}\quad 9B+D=3.
Subtraindo a primeira da segunda:
(9B+D)-(B+D)=8B=1 \implies B=\tfrac{1}{8}.
Então D=2-B=2-\tfrac{1}{8}=\tfrac{15}{8}.
Portanto
A=0,\quad B=\tfrac{1}{8},\quad C=0,\quad D=\tfrac{15}{8}.

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, a decomposição fica simples (os termos com x no numerador desapareceram):
\frac{2 x^{2}+3}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}=\frac{1/8}{x^{2}+1}+\frac{15/8}{x^{2}+9}.
Ou escrevendo coeficientes fatorados:
\frac{2 x^{2}+3}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{15}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+9}.

Passo 7

Agora integramos termo a termo. Lembrete útil (prova rápida): para a>0,
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
Isto vem da substituição x=a\tan\theta ou diferenciando \arctan(x/a).
Aplicando essa fórmula:
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx temos a=1, então o resultado é \arctan x.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+9}\,dx temos a=3, então o resultado é \tfrac{1}{3}\arctan\!\left(\tfrac{x}{3}\right).
Multiplicando pelos coeficientes:
\int \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{8}\arctan x,
\int \frac{15}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+9}\,dx=\frac{15}{8}\cdot\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)=\frac{5}{8}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right).

Passo 8

Somando as primitivas e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva procurada:
\frac{1}{8}\arctan x+\frac{5}{8}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C.
Se quiser, fatorando \tfrac{1}{8}:
\frac{1}{8}\left(\arctan x+5\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)\right)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}\arctan x+\frac{5}{8}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C

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