Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 4
\int \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando } \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}},\quad \text{denominador }(x^{2}+1)^{2}\text{ (quadrática irreduzível ao quadrado)}.áí
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja, calcular a integral indefinida com constante de integração.

Passo 2

Por que usar frações parciais aqui e qual é a forma correta?
Quando o denominador é um quadrado de um polinômio quadrático irreduzível, a decomposição em frações parciais tem termos da forma
\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+1)^{2}}.
Explicação didática: cada fator irreduzível de grau 2 elevado a uma potência k contribui na decomposição com termos com numeradores de grau menor que 2 (ou seja, grau 1) multiplicando cada potência do fator. Como aqui o único fator é x^{2}+1 com potência 2, usamos dois termos lineares sobre as potências 1 e 2.

Passo 3

Escrevo a igualdade de frações parciais e encontro as constantes. Começo por igualar:
\frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+1)^{2}}.
Multiplico ambos os lados por (x^{2}+1)^{2} para eliminar denominadores:
x^{2}=(Ax+B)(x^{2}+1)+(Cx+D).
Agora eu desenvolvo os produtos do lado direito:
(Ax+B)(x^{2}+1)=Ax^{3}+Bx^{2}+Ax+B.
Somando Cx+D obtemos
x^{2}=Ax^{3}+Bx^{2}+(A+C)x+(B+D).

Passo 4

Comparo coeficientes dos dois polinômios (coeficientes de x^{3},x^{2},x,1\)). Do lado esquerdo \(x^{2}\) tem coeficiente \(1\) e os demais são \(0\). Assim o sistema é: \[\begin{cases} \text{coef de }x^{3}: & A=0,\\[4pt] \text{coef de }x^{2}: & B=1,\\[4pt] \text{coef de }x: & A+C=0,\\[4pt] \text{constante}: & B+D=0. \end{cases}
Usando A=0\] e \(B=1 nas últimas equações vem C=0 e D=-1.]

Passo 5

Substituo as constantes na decomposição. Logo
\frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{0\cdot x+1}{x^{2}+1}+\frac{0\cdot x-1}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}.
Assim a integral separa-se em duas integrais mais simples:
\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx-\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.

Passo 6

Calculo a primeira integral, que é padrão:
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x + C_1.
Pedacinho de teoria rápida: a derivada de \arctan x é \dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}, por isso essa primitiva aparece.

Passo 7

Calculo a segunda integral
I=\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Faço a substituição trigonométrica clássica x=\tan\theta. Então dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e x^{2}+1=\operatorname{sec}^{2}\theta. Substituindo:
I=\int \frac{1}{\operatorname{sec}^{4}\theta}\cdot \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta=\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Agora uso a identidade de redução da potência:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Logo
I=\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin(2\theta)+C_2.

Passo 8

Volto a variável x. Como x=\tan\theta temos \theta=\arctan x. Para \sin(2\theta) uso \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Com um triângulo retângulo associado a \tan\theta=x/1 vem
\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},\qquad \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Portanto
\sin(2\theta)=2\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{2x}{1+x^{2}}.
Substituindo em I:
I=\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{4}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}+C_2 =\frac{1}{2}\arctan x+\frac{x}{2(1+x^{2})}+C_2.

Passo 9

Agora retorno à integral original usando os resultados dos passos anteriores:
\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx =\underbrace{\arctan x}_{\text{da primeira}}-\underbrace{\left(\frac{1}{2}\arctan x+\frac{x}{2(1+x^{2})}\right)}_{\text{da segunda}}+C.
Simplifico:
\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx =\arctan x-\frac{1}{2}\arctan x-\frac{x}{2(1+x^{2})}+C =\frac{1}{2}\arctan x-\frac{x}{2(1+x^{2})}+C.
Posso também escrever fatorando 1/2:
\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\Big(\arctan x-\frac{x}{1+x^{2}}\Big)+C.

Passo 10

Checagem rápida (confirmação): derivando a primitiva \dfrac{1}{2}\big(\arctan x-\dfrac{x}{1+x^{2}}\big) recuperamos \dfrac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} — isto confirma que a integração foi feita corretamente (verificação via derivação é uma boa prática na prova).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\Big(\arctan x-\frac{x}{1+x^{2}}\Big)+C

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