Calcule as integrais pelo método das frações parciais.
\int_{0}^{1} \frac{2}{x^{2}+3 x+2} d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{2}+3x+2}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional usando método de frações parciais. Precisamos fatorar o denominador e decompor em parcelas simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2).

Passo 3

Procuramos constantes A e B tais que
\frac{2}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}.
Multiplicando por (x+1)(x+2), obtém-se
2 = A(x+2) + B(x+1).
Tomando x=-1 2 = A\cdot1, logo A=2.
Tomando x=-2 2 = B\cdot(-1), logo B=-2.

Passo 4

Portanto
\frac{2}{(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x+1} \;-\;\frac{2}{x+2}.
A integral vira
\int_{0}^{1}\!\frac{2}{x^{2}+3x+2}\,dx = \int_{0}^{1}\!\Bigl(\frac{2}{x+1} - \frac{2}{x+2}\Bigr)\,dx.
Integrando cada parcela:
\int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|, \quad \int \frac{2}{x+2}\,dx = 2\ln|x+2|.

Passo 5

Avaliamo de 0 a 1:
\Bigl[\,2\ln|x+1| - 2\ln|x+2|\,\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(2\ln2 - 2\ln3\bigr) - \bigl(2\ln1 - 2\ln2\bigr) = 2\ln2 - 2\ln3 + 2\ln2 = 4\ln2 - 2\ln3 = \ln\frac{16}{9}.

Resposta

\ln\frac{16}{9}.

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