Calcule as integrais em a), b) e c) por 2 métodos:
\oint_{C}\left{\left(e{x{3}}+y^{2}\right) d x+\left(x+\sqrt{1+y^{2}}\right) d y\right}, onde
é o quadrado de vértices
,
e
, percorrido no sentido horário.
\oint_{C}\left{\left(e{x{3}}+y^{2}\right) d x+\left(x+\sqrt{1+y^{2}}\right) d y\right}, onde
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é o quadrado de vértices
percorrido no sentido horário. As informações relevantes são:
- O campo vetorial é dado por
(componente em ) e (componente em ). - A curva
é a fronteira do quadrado unitário . - A orientação é horário (sentido negativo em relação à orientação positiva usual, que é anti-horária).
- O objetivo: calcular a integral de contorno acima por dois métodos diferentes (1: integral direta por parametrização em quatro lados; 2: usar o Teorema de Green).
Passo 2
Método 1 — ideia e fórmula: quando
é uma curva peça‑a‑peça suave parametrizada por
, a integral de linha é
Aqui vamos parametrizar
como a união de quatro segmentos
no sentido horário. Escolho a seguinte ordem (cada segmento é percorrido no sentido indicado):
-
: de a — segmento esquerdo, . -
: de a — segmento superior, . -
: de a — segmento direito, (ou seja, decresce). -
: de a — segmento inferior, .
Vou calcular a contribuição de cada segmento usando a fórmula acima.
Passo 3
Contribuição de
. Parametrização:
. Então
.
-
. -
.
Pela fórmula,
Passo 4
Contribuição de
. Parametrização:
. Então
.
-
. -
(não usaremos porque ).
Pela fórmula,
Passo 5
Contribuição de
. Parametrização:
(note que
decresce). Então
mas o intervalo vai de
a
.
-
(não se usa porque ). -
.
Pela fórmula,
Troco os limites para integrar de
a
:
Passo 6
Contribuição de
. Parametrização:
. Então
com intervalo decrescente.
-
. -
(não usado porque ).
Pela fórmula,
Passo 7
Somando as quatro contribuições (agora todas escritas com integrais de
a
):
-
: . -
: . -
: . -
: .
Agora some termo a termo:
- As integrais com
aparecem com sinais opostos e se cancelam. - As integrais com
aparecem com sinais opostos e se cancelam. - As integrais constantes
e também se cancelam.
Portanto a soma das quatro contribuições reduz-se a uma soma de termos que se cancelam entre si.
Passo 8
Método 2 — conceito e aplicação do Teorema de Green: o Teorema de Green diz que, para uma região plana
com fronteira
orientada positivamente (anti‑horária),
Aqui é importante notar o papel da orientação: a fórmula acima exige orientação positiva; como
está orientada no sentido horário (orientação negativa), então
Passo 9
Calcular as derivadas parciais e o integral duplo sobre o quadrado unitário
.
-
, porque é independente de . -
.
Logo o integrando é
O integral duplo sobre
é
Integro em
primeiro:
.
Agora integro em :
Agora integro em
Passo 10
Como o integral duplo de
sobre
é nulo e a orientação de
é horário (negativa), pelo Teorema de Green
Além disso, pelo cálculo direto (Método 1) as quatro contribuições somaram-se de modo a se cancelarem mutuamente.
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