Explique porque os seguintes campos não são conservativos em \mathbb{R}^{3} :
\vec{F}(x, y, z)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \hat{\imath}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \hat{\jmath}+8 z^{3} \hat{k}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\hat{\imath}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\hat{\jmath}+8z^{3}\hat{k},
e pede que se explique por que esse campo não é conservativo em \mathbb{R}^{3}.
Informações fornecidas e o que exatamente é pedido:
  • O campo tem componentes P(x,y,z)=\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}, Q(x,y,z)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} e R(x,y,z)=8z^{3}.
  • É necessário demonstrar (explicar) que esse campo NÃO admite uma função potencial global em \mathbb{R}^{3}; ou seja, que não existe \varphi:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} tal que \nabla\varphi=\vec{F} em todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular o rotacional \nabla\times\vec{F} (pois frequentemente usamos a condição \nabla\times\vec{F}=0 como teste para campos conservativos quando o domínio é apropriado). Para um campo \vec{F}=(P,Q,R) em coordenadas cartesianas,
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\hat{\jmath}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\hat{k}.
Vou calcular cada termo com calma e devagar, mostrando as derivadas.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem no rotacional:
  • \dfrac{\partial R}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(8z^{3}\right)=0, porque R depende só de z.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)=0, porque Q não depende de z.
    Portanto a componente i do rotacional é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-0=0.
  • \dfrac{\partial P}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}\right)=0, porque P não depende de z.
  • \dfrac{\partial R}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(8z^{3}\right)=0.
    Portanto a componente j do rotacional é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-0=0.
Agora a componente k:
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Usando derivada de quociente,
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) =\frac{(1)(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\right) =\frac{(-1)(x^{2}+y^{2})-(-y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-(x^{2}+y^{2})+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=0.
Portanto, onde o campo está definido (isto é, para todos os pontos em que x^{2}+y^{2}\neq 0), o rotacional é
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.

Passo 4

Importante observação sobre o domínio do campo: as componentes P e Q têm denominador x^{2}+y^{2}, então o campo NÃO está definido quando x^{2}+y^{2}=0, isto é, ao longo do eixo z (todos os pontos (0,0,z)). Logo o domínio natural de \vec{F} é
D=\mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\},
ou seja, \mathbb{R}^{3} com o eixo z removido.
A consequência prática: embora \nabla\times\vec{F}=0 em D, a implicação “rotacional nulo \Rightarrow campo conservativo” exige além disso que o domínio seja simplesmente conexo (sem buracos). O domínio D NÃO é simplesmente conexo: existe, por exemplo, um laço que circula em torno do eixo z que não pode ser continuamente contrído a um ponto sem sair de D. Portanto o fato de \nabla\times\vec{F}=0 não garante que \vec{F} seja conservativo em D.

Passo 5

Para mostrar concretamente que \vec{F} não é conservativo, mostro uma curva fechada em D cujo integral de linha não é zero. Tome a circunferência unitária no plano z=0, percorrida uma volta no sentido anti-horário:
\gamma(t)=(\cos t,\\ \sin t,\\\ 0),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Nesse parâmetro temos
\gamma'(t)=(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 0)\,.
Avaliar \vec{F} ao longo de \gamma: para x=\cos t,\\ y=\sin t tem-se x^{2}+y^{2}=1, logo
\vec{F}(\gamma(t))=\big(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 8\cdot 0^{3}\big)=(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 0).
O produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) é
(-\sin t,\\ \cos t,0)\cdot(-\sin t,\\ \cos t,0)=\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Portanto a integral de linha ao longo da curva fechada é
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi\neq 0.

Passo 6

Interpretação: se \vec{F} fosse conservativo em D, então toda integral de linha sobre curva fechada em D seria zero (porque integrais sobre curvas fechadas de campos-gradiente são zero). Encontramos uma curva fechada em D com integral 2\pi\neq0. Logo não existe potencial global em D; portanto \vec{F} não é conservativo em \mathbb{R}^{3}.
Também dá para intuir: as componentes P,Q formam o campo angular no plano (x,y) (campo que “gira” em torno do eixo z); esse tipo de campo tem circulação não nula em torno do eixo, e o eixo é precisamente o lugar onde o campo é singular — por isso o domínio tem um “buraco” e impede existência de potencial global.

Passo 7

Resumo pedagógico rápido e amigável: computei o rotacional e vi que é nulo onde o campo está definido, mas o domínio não é simplesmente conexo (tem o eixo z removido). Em seguida construí uma curva fechada que circula o eixo z e calculei a integral de linha explícita, obtendo 2\pi. Isso prova que o campo não é conservativo. Se ficar tenso: lembra que isso é bem comum — rotacional nulo + domínio com buraco = campo possivelmente não-conservativo; é preciso sempre checar o domínio.

Resposta

O campo não é conservativo: embora \nabla\times\vec{F}=\vec{0} onde o campo está definido, o domínio é \mathbb{R}^{3} com o eixo z removido (não simplesmente conexo) e existe uma curva fechada (por exemplo \gamma(t)=(\cos t,\sin t,0)) com \oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=2\pi\neq0, logo \vec{F} não admite potencial global.

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