Explique porque os seguintes campos não são conservativos em
:
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede que se explique por que esse campo não é conservativo em
.
Informações fornecidas e o que exatamente é pedido:
- O campo tem componentes
, e . - É necessário demonstrar (explicar) que esse campo NÃO admite uma função potencial global em
; ou seja, que não existe tal que em todo .
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular o rotacional
(pois frequentemente usamos a condição
como teste para campos conservativos quando o domínio é apropriado). Para um campo
em coordenadas cartesianas,
Vou calcular cada termo com calma e devagar, mostrando as derivadas.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem no rotacional:
-
porque depende só de . -
porque não depende de .
Portanto a componentedo rotacional é
-
porque não depende de . -
Portanto a componentedo rotacional é
Agora a componente
:
- Calcular
. Usando derivada de quociente,
- Calcular
:
Logo
Portanto, onde o campo está definido (isto é, para todos os pontos em que
), o rotacional é
Passo 4
Importante observação sobre o domínio do campo: as componentes
e
têm denominador
, então o campo NÃO está definido quando
, isto é, ao longo do eixo
(todos os pontos
). Logo o domínio natural de
é
ou seja,
com o eixo
removido.
A consequência prática: embora
em
, a implicação “rotacional nulo
campo conservativo” exige além disso que o domínio seja simplesmente conexo (sem buracos). O domínio
NÃO é simplesmente conexo: existe, por exemplo, um laço que circula em torno do eixo
que não pode ser continuamente contrído a um ponto sem sair de
. Portanto o fato de
não garante que
seja conservativo em
.
Passo 5
Para mostrar concretamente que
não é conservativo, mostro uma curva fechada em
cujo integral de linha não é zero. Tome a circunferência unitária no plano
, percorrida uma volta no sentido anti-horário:
Nesse parâmetro temos
Avaliar
ao longo de
: para
tem-se
, logo
O produto escalar
é
Portanto a integral de linha ao longo da curva fechada é
Passo 6
Interpretação: se
fosse conservativo em
, então toda integral de linha sobre curva fechada em
seria zero (porque integrais sobre curvas fechadas de campos-gradiente são zero). Encontramos uma curva fechada em
com integral
. Logo não existe potencial global em
; portanto
não é conservativo em
.
Também dá para intuir: as componentes
formam o campo angular no plano
(campo que “gira” em torno do eixo
); esse tipo de campo tem circulação não nula em torno do eixo, e o eixo é precisamente o lugar onde o campo é singular — por isso o domínio tem um “buraco” e impede existência de potencial global.
Passo 7
Resumo pedagógico rápido e amigável: computei o rotacional e vi que é nulo onde o campo está definido, mas o domínio não é simplesmente conexo (tem o eixo
removido). Em seguida construí uma curva fechada que circula o eixo
e calculei a integral de linha explícita, obtendo
. Isso prova que o campo não é conservativo. Se ficar tenso: lembra que isso é bem comum — rotacional nulo + domínio com buraco = campo possivelmente não-conservativo; é preciso sempre checar o domínio.
Resposta
O campo não é conservativo: embora
onde o campo está definido, o domínio é
com o eixo
removido (não simplesmente conexo) e existe uma curva fechada (por exemplo
) com
, logo
não admite potencial global.