Use a aplicação do teorema de Green que permite achar a área encerrada por uma curva fechada G, no plano x y, para:
Encontrar a área encerrada pelo cardióide \rho=a(1+\cos \theta) \quad(a>0), o eixo x; \theta \in[0,2 \pi] e o eixo x;

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
\rho = a(1+\cos\theta),\qquad a>0,\qquad \theta\in[0,2\pi],
e pede a área encerrada por essa curva fechada (o cardióide). Vou deixar claro o que temos e o que precisamos encontrar:
  • Dado: a função radial \rho(\theta)=a(1+\cos\theta).
  • Queremos: a área da região no plano xy limitada por essa curva fechada quando \theta percorre todo o intervalo [0,2\pi].
Não vou resolver nada ainda; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Apresentar a ferramenta: o Teorema de Green aplicado para calcular áreas.
O Teorema de Green (forma apropriada aqui) diz que, para uma curva simples, fechada e positivamente orientada C=\partial G que limita uma região G,
\iint_{G}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA=\oint_{C}\bigl(P\,dx+Q\,dy\bigr).
Uma escolha conveniente para obter a área A(G) é tomar P=-\tfrac{y}{2} e Q=\tfrac{x}{2}. Com essa escolha
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1,
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A(G)=\iint_{G}1\,dA=\oint_{C}\left(-\tfrac{y}{2}\,dx+\tfrac{x}{2}\,dy\right)=\tfrac{1}{2}\oint_{C}\bigl(x\,dy-y\,dx\bigr).
Portanto, a fórmula prática que vamos usar é
A(G)=\tfrac{1}{2}\oint_{C}\bigl(x\,dy-y\,dx\bigr).
Explico as variáveis: x,y são as coordenadas cartesianas ao longo da curva C; dx,dy são as diferentes incrementais quando paramos a curva por um parâmetro (aqui será \theta). A curva deve estar orientada no sentido anti-horário (positiva); o parâmetro \theta de 0 a 2\pi dá essa orientação natural para o cardióide.

Passo 3

Parametrizar a curva dada em coordenadas cartesianas usando a representação polar.
Em polares temos a regra de conversão:
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta.
Aqui \rho=\rho(\theta)=a(1+\cos\theta). Logo a parametrização da curva C por \theta\in[0,2\pi] é
x(\theta)=a(1+\cos\theta)\cos\theta, \qquad y(\theta)=a(1+\cos\theta)\sin\theta.
O parâmetro é \theta. Vamos usar essa parametrização na fórmula do passo anterior.

Passo 4

Calcular dx e dy explicitamente em função de \theta (derivadas passo a passo).
Primeiro, escrevo \rho(\theta)=a(1+\cos\theta). A derivada é
\rho'(\theta)=a(-\sin\theta)=-a\sin\theta.
Agora calcule dx e dy como dx=\dfrac{dx}{d\theta}\,d\theta e dy=\dfrac{dy}{d\theta}\,d\theta.
Calculemos \dfrac{dx}{d\theta}:
\frac{dx}{d\theta} =\frac{d}{d\theta}\bigl(\rho\cos\theta\bigr) =\rho'(\theta)\cos\theta-\rho(\theta)\sin\theta.
Calculemos \dfrac{dy}{d\theta}:
\frac{dy}{d\theta} =\frac{d}{d\theta}\bigl(\rho\sin\theta\bigr) =\rho'(\theta)\sin\theta+\rho(\theta)\cos\theta.
Portanto
dx=\bigl(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta\bigr)\,d\theta, \qquad dy=\bigl(\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta\bigr)\,d\theta,
onde para simplificar escrevo \rho=\rho(\theta) e \rho'=\rho'(\theta).

Passo 5

Montar o integrando x\,dy-y\,dx e simplificar — aqui acontece uma boa simplificação que leva à fórmula polar usual.
Substituindo x=\rho\cos\theta e y=\rho\sin\theta e usando os dx,dy do passo anterior:
x\,dy-y\,dx =\bigl(\rho\cos\theta\bigr)\bigl(\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta\bigr)d\theta -\bigl(\rho\sin\theta\bigr)\bigl(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta\bigr)d\theta.
Expanda termo a termo (faça devagar!):
x\,dy-y\,dx =\bigl(\rho\rho'\cos\theta\sin\theta+\rho^2\cos^2\theta\bigr)d\theta -\bigl(\rho\rho'\sin\theta\cos\theta-\rho^2\sin^2\theta\bigr)d\theta.
Agora observe que os termos com \rho\rho'\cos\theta\sin\theta se cancelam:
\rho\rho'\cos\theta\sin\theta-\rho\rho'\sin\theta\cos\theta=0.
Restam os termos com \rho^2:
x\,dy-y\,dx=\bigl(\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta\bigr)\,d\theta =\rho^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\,d\theta=\rho^2\,d\theta.
Como \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, ficou limpo: x\,dy-y\,dx=\rho^2\,d\theta.
Esse passo mostra por que a fórmula do passo 2 se reduz à fórmula polar usual:
A(G)=\tfrac{1}{2}\oint_{C}\bigl(x\,dy-y\,dx\bigr) =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\rho(\theta)^2\,d\theta.

Passo 6

Substituir \rho(\theta)=a(1+\cos\theta) na integral e calcular passo a passo.
Temos
A=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\bigl[a(1+\cos\theta)\bigr]^2\,d\theta =\tfrac{a^2}{2}\int_{0}^{2\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)\,d\theta.
Agora desenvolvo \cos^2\theta pela identidade trigonométrica
\cos^2\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos 2\theta\bigr).
Logo o integrando fica
1+2\cos\theta+\cos^2\theta=1+2\cos\theta+\tfrac{1}{2}(1+\cos 2\theta) =\tfrac{3}{2}+2\cos\theta+\tfrac{1}{2}\cos 2\theta.
Integramos termo a termo em [0,2\pi]:
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\tfrac{3}{2}\,d\theta=\tfrac{3}{2}\cdot(2\pi)=3\pi.
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}2\cos\theta\,d\theta=2\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{2\pi}=2(0-0)=0.
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}\cos 2\theta\,d\theta=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2\theta}{2}\Big|_{0}^{2\pi}=0.
Somando,
\int_{0}^{2\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)\,d\theta=3\pi.
Portanto
A=\tfrac{a^2}{2}\cdot 3\pi=\tfrac{3\pi}{2}\,a^2.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem intuitiva (leve e motivadora).
  • A área é proporcional a a^2 como esperado para escalas em geometria plana.
  • O valor \tfrac{3\pi}{2}a^2 coincide com o que se obtém usando a fórmula direta em coordenadas polares A=\tfrac{1}{2}\int r^2\,d\theta — aqui vimos que essa fórmula é conseqüência do Teorema de Green.
  • Se estiver nervoso: respira fundo — o cancelamento dos termos com \rho' é o truque bonito que simplifica tudo e que vale a pena lembrar na prova.

Resposta

\dfrac{3\pi}{2}\,a^{2}

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