Use a aplicação do teorema de Green que permite achar a área encerrada por uma curva fechada
, no plano
, para:
Encontrar a área encerrada pelo cardióide
, o eixo
;
e o eixo
;
Encontrar a área encerrada pelo cardióide
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede a área encerrada por essa curva fechada (o cardióide). Vou deixar claro o que temos e o que precisamos encontrar:
- Dado: a função radial
. - Queremos: a área da região no plano
limitada por essa curva fechada quando percorre todo o intervalo .
Não vou resolver nada ainda; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Apresentar a ferramenta: o Teorema de Green aplicado para calcular áreas.
O Teorema de Green (forma apropriada aqui) diz que, para uma curva simples, fechada e positivamente orientada
que limita uma região
,
Uma escolha conveniente para obter a área
é tomar
e
. Com essa escolha
logo
Portanto, a fórmula prática que vamos usar é
Explico as variáveis:
são as coordenadas cartesianas ao longo da curva
;
são as diferentes incrementais quando paramos a curva por um parâmetro (aqui será
). A curva deve estar orientada no sentido anti-horário (positiva); o parâmetro
de
a
dá essa orientação natural para o cardióide.
Passo 3
Parametrizar a curva dada em coordenadas cartesianas usando a representação polar.
Em polares temos a regra de conversão:
Aqui
. Logo a parametrização da curva
por
é
O parâmetro é
. Vamos usar essa parametrização na fórmula do passo anterior.
Passo 4
Calcular
e
explicitamente em função de
(derivadas passo a passo).
Primeiro, escrevo
. A derivada é
Agora calcule
e
como
e
.
Calculemos
:
Calculemos
:
Portanto
onde para simplificar escrevo
e
.
Passo 5
Montar o integrando
e simplificar — aqui acontece uma boa simplificação que leva à fórmula polar usual.
Substituindo
e
e usando os
do passo anterior:
Expanda termo a termo (faça devagar!):
Agora observe que os termos com
se cancelam:
Restam os termos com
:
Como
, ficou limpo:
.
Esse passo mostra por que a fórmula do passo 2 se reduz à fórmula polar usual:
Passo 6
Substituir
na integral e calcular passo a passo.
Temos
Agora desenvolvo
pela identidade trigonométrica
Logo o integrando fica
Integramos termo a termo em
:
Somando,
Portanto
Passo 7
Interpretação rápida e checagem intuitiva (leve e motivadora).
- A área é proporcional a
como esperado para escalas em geometria plana. - O valor
coincide com o que se obtém usando a fórmula direta em coordenadas polares — aqui vimos que essa fórmula é conseqüência do Teorema de Green. - Se estiver nervoso: respira fundo — o cancelamento dos termos com
é o truque bonito que simplifica tudo e que vale a pena lembrar na prova.