Explique porque os seguintes campos não são conservativos em
:
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que o campo vetorial
não é conservativo em
.
Informações dadas:
- Componente
. - Componente
. - Componente
. - Domínio: todo
.
O que se pede: justificar (com uma explicação didática) por que esse campo não possui um potencial escalar definido em todo
(ou seja, por que não é conservativo).
Passo 2
Ideia usada (justifiquei por que essa ideia vale no caso): num aberto simplesmente conexo (como
) e para campos com derivadas parciais contínuas, um campo vetorial é conservativo se, e somente se, seu rotacional (ou “curl”) é o vetor zero em todo o domínio. Então basta mostrar que
em algum ponto de
. Se o rotacional for não-nulo em qualquer ponto, o campo não é conservativo. Antes de calcular, lembro rapidamente as regras de derivação que vou usar:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia: se
então .
As derivadas parciais de
são contínuas em
(combinações de exponencial, seno e cosseno), então o critério do rotacional é aplicável.
Passo 3
Escrevo a expressão do rotacional em coordenadas:
Vou calcular cada derivada parcial necessária com calma.
- Calcular
. Como , aplicar regra do produto em :
Agora
(regra da cadeia, derivando
em relação a
dá
). Logo
- Calcular
. Como e é tratado como constante em relação a :
- Calcular
. Como ,
- Calcular
. Como e é constante em relação a ,
- Calcular
. Como ,
- Calcular
. Como ,
Passo 4
Substituo as derivadas parciais na fórmula do rotacional e simplifico componente a componente.
Componente
:
Agrupando termos:
Componente
:
Componente
:
Portanto o rotacional é
Passo 5
Concluir se o campo é conservativo: se
fosse conservativo precisaríamos ter
em todo
. Mas a expressão obtida para
não é a função identicamente zero (há termos com
e
que nem sempre se anulam). Basta encontrar um ponto concreto onde o rotacional seja diferente de zero para concluir que o campo não é conservativo.
Escolho o ponto
. Substituindo:
Assim
que é claramente diferente de
.
Como o rotacional não é nulo nesse ponto (nem em muitos outros), concluímos que
em
. Pelo critério do rotacional em domínios simplesmente conexos, o campo
não é conservativo em
.
Resposta
O campo não é conservativo porque
; por exemplo
, logo o rotacional não é identicamente zero em
.