Explique porque os seguintes campos não são conservativos em \mathbb{R}^{3} :
\vec{F}(x, y, z)=e^{x} \operatorname{sen}(y z) \hat{\imath}+e^{x} \cos (y z) \hat{\jmath}+e^{x} y \cos (y z)

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=e^{x}\sin(yz)\,\hat{\imath}+e^{x}\cos(yz)\,\hat{\jmath}+e^{x}y\cos(yz)\,\hat{k}
não é conservativo em \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas:
  • Componente P(x,y,z)=e^{x}\sin(yz).
  • Componente Q(x,y,z)=e^{x}\cos(yz).
  • Componente R(x,y,z)=e^{x}y\cos(yz).
  • Domínio: todo \mathbb{R}^{3}.
O que se pede: justificar (com uma explicação didática) por que esse campo não possui um potencial escalar definido em todo \mathbb{R}^{3} (ou seja, por que não é conservativo).

Passo 2

Ideia usada (justifiquei por que essa ideia vale no caso): num aberto simplesmente conexo (como \mathbb{R}^{3}) e para campos com derivadas parciais contínuas, um campo vetorial é conservativo se, e somente se, seu rotacional (ou “curl”) é o vetor zero em todo o domínio. Então basta mostrar que
\nabla\times\vec{F}\neq\vec{0}
em algum ponto de \mathbb{R}^{3}. Se o rotacional for não-nulo em qualquer ponto, o campo não é conservativo. Antes de calcular, lembro rapidamente as regras de derivação que vou usar:
  • Regra do produto: \dfrac{\partial}{\partial u}[f(u)\,g(u)]=f'(u)g(u)+f(u)g'(u).
  • Regra da cadeia: se h(u)=\cos(\varphi(u)) então h'(u)=-\sin(\varphi(u))\varphi'(u).
As derivadas parciais de P,Q,R são contínuas em \mathbb{R}^3 (combinações de exponencial, seno e cosseno), então o critério do rotacional é aplicável.

Passo 3

Escrevo a expressão do rotacional em coordenadas:
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\hat{\jmath}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\hat{k}.
Vou calcular cada derivada parcial necessária com calma.
  1. Calcular \dfrac{\partial R}{\partial y}. Como R(x,y,z)=e^{x}y\cos(yz), aplicar regra do produto em y:
\frac{\partial R}{\partial y}=e^{x}\bigl(1\cdot\cos(yz)+y\cdot\frac{\partial}{\partial y}\cos(yz)\bigr).
Agora \dfrac{\partial}{\partial y}\cos(yz)=-\sin(yz)\cdot z (regra da cadeia, derivando yz em relação a y z). Logo
\frac{\partial R}{\partial y}=e^{x}\bigl(\cos(yz)-y z\sin(yz)\bigr).
  1. Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial z}. Como Q(x,y,z)=e^{x}\cos(yz) e e^x é tratado como constante em relação a z:
\frac{\partial Q}{\partial z}=e^{x}\cdot\frac{\partial}{\partial z}\cos(yz)=e^{x}\bigl(-\sin(yz)\cdot y\bigr)=-e^{x}y\sin(yz).
  1. Calcular \dfrac{\partial P}{\partial z}. Como P(x,y,z)=e^{x}\sin(yz),
\frac{\partial P}{\partial z}=e^{x}\cdot\frac{\partial}{\partial z}\sin(yz)=e^{x}\bigl(\cos(yz)\cdot y\bigr)=e^{x}y\cos(yz).
  1. Calcular \dfrac{\partial R}{\partial x}. Como R(x,y,z)=e^{x}y\cos(yz) e y\cos(yz) é constante em relação a x,
\frac{\partial R}{\partial x}=e^{x}y\cos(yz).
  1. Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y,z)=e^{x}\cos(yz),
\frac{\partial Q}{\partial x}=e^{x}\cos(yz).
  1. Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y,z)=e^{x}\sin(yz),
\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\sin(yz)=e^{x}\bigl(\cos(yz)\cdot z\bigr)=e^{x}z\cos(yz).

Passo 4

Substituo as derivadas parciais na fórmula do rotacional e simplifico componente a componente.
Componente \hat{\imath}:
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} = e^{x}\bigl(\cos(yz)-y z\sin(yz)\bigr)-\bigl(-e^{x}y\sin(yz)\bigr).
Agrupando termos:
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} = e^{x}\bigl(\cos(yz)-y z\sin(yz)+y\sin(yz)\bigr) = e^{x}\bigl(\cos(yz)+y(1-z)\sin(yz)\bigr).
Componente \hat{\jmath}:
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} = e^{x}y\cos(yz)-e^{x}y\cos(yz)=0.
Componente \hat{k}:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = e^{x}\cos(yz)-e^{x}z\cos(yz)=e^{x}(1-z)\cos(yz).
Portanto o rotacional é
\nabla\times\vec{F} = e^{x}\bigl(\cos(yz)+y(1-z)\sin(yz)\bigr)\,\hat{\imath}+0\,\hat{\jmath}+e^{x}(1-z)\cos(yz)\,\hat{k}.

Passo 5

Concluir se o campo é conservativo: se \vec{F} fosse conservativo precisaríamos ter \nabla\times\vec{F}\equiv\vec{0} em todo \mathbb{R}^3. Mas a expressão obtida para \nabla\times\vec{F} não é a função identicamente zero (há termos com \cos e \sin que nem sempre se anulam). Basta encontrar um ponto concreto onde o rotacional seja diferente de zero para concluir que o campo não é conservativo.
Escolho o ponto (x,y,z)=(0,1,0). Substituindo:
e^{0}=1,\qquad \cos(1\cdot 0)=\cos(0)=1,\qquad \sin(0)=0,\qquad 1-z=1.
Assim
(\nabla\times\vec{F})(0,1,0)=\bigl(1\cdot(1+1\cdot(1-0)\cdot 0),\,0,\,1\cdot(1-0)\cdot 1\bigr)=(1,0,1),
que é claramente diferente de \vec{0}.
Como o rotacional não é nulo nesse ponto (nem em muitos outros), concluímos que \nabla\times\vec{F}\not\equiv\vec{0} em \mathbb{R}^{3}. Pelo critério do rotacional em domínios simplesmente conexos, o campo \vec F não é conservativo em \mathbb{R}^{3}.

Resposta

O campo não é conservativo porque \nabla\times\vec{F}\neq\vec{0}; por exemplo (\nabla\times\vec{F})(0,1,0)=(1,0,1), logo o rotacional não é identicamente zero em \mathbb{R}^{3}.

Exercícios relacionados