Calcule as integrais múltiplas:
\int_{-1}^{2} \int_{2}^{4} x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-1}^{2}\int_{2}^{4} x\,y\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A região de integração é um retângulo no plano com x variando de -1 até 2 e y variando de 2 até 4.
  • A função a ser integrada (o integrando) é x\,y.
  • A ordem dada é primeiro integrar em y (integral interna) e depois em x (integral externa).

Passo 2

Ideia e propriedades que vamos usar (explicação didática):
  • Quando fazemos a integral interna em y, tratamos x como constante porque a integração é feita em relação a y. Ou seja, x não muda enquanto y varia.
  • Propriedade da linearidade: podemos puxar fatores que não dependem da variável de integração para fora da integral. Por exemplo, se x é constante em relação a y, então
\int_{2}^{4} x\,y\,dy = x\int_{2}^{4} y\,dy.
  • Fórmula básica de primitiva: uma primitiva de y (em relação a y) é \dfrac{y^{2}}{2}, porque a derivada de \dfrac{y^{2}}{2} em relação a y é y.

Passo 3

Calcular a integral interna usando o que dissemos:
\int_{2}^{4} x\,y\,dy = x\int_{2}^{4} y\,dy = x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=2}^{y=4}.
Agora avalio a primitiva nos extremos:
\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{2}^{4}=\frac{4^{2}}{2}-\frac{2^{2}}{2}=\frac{16}{2}-\frac{4}{2}=8-2=6.
Portanto a integral interna vale 6x:
\int_{2}^{4} x\,y\,dy = 6x.

Passo 4

Agora substituo o resultado da integral interna na integral externa e resolvo:
\int_{-1}^{2} 6x\,dx.
Puxando a constante 6 para fora (ou usando linearidade):
6\int_{-1}^{2} x\,dx.
Uma primitiva de x (em relação a x) é \dfrac{x^{2}}{2}. Então
6\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=-1}^{x=2}.

Passo 5

Avalio a primitiva nos limites:
\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{2}=\frac{2^{2}}{2}-\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=2-\tfrac{1}{2}= \tfrac{3}{2}.
Multiplicando por 6:
6\cdot \tfrac{3}{2}=6\cdot 1{,}5 =9.
Então a integral dupla tem valor 9.

Passo 6

Observação alternativa rápida (útil para prova): como x\,y é produto de uma função só de x por uma função só de y e a região é um retângulo, podemos separar:
\int_{-1}^{2}\int_{2}^{4} x\,y\,dy\,dx = \left(\int_{-1}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{2}^{4} y\,dy\right).
Calculando cada uma: \int_{-1}^{2} x\,dx=\tfrac{3}{2} e \int_{2}^{4} y\,dy=6, produto \tfrac{3}{2}\cdot 6=9. Dá o mesmo resultado, é mais rápido quando a região é retangular.

Resposta

9

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