Calcule as integrais múltiplas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- A região de integração é um retângulo no plano com
variando de até e variando de até . - A função a ser integrada (o integrando) é
. - A ordem dada é primeiro integrar em
(integral interna) e depois em (integral externa).
Passo 2
Ideia e propriedades que vamos usar (explicação didática):
- Quando fazemos a integral interna em
, tratamos como constante porque a integração é feita em relação a . Ou seja, não muda enquanto varia. - Propriedade da linearidade: podemos puxar fatores que não dependem da variável de integração para fora da integral. Por exemplo, se
é constante em relação a , então
- Fórmula básica de primitiva: uma primitiva de
(em relação a ) é , porque a derivada de em relação a é .
Passo 3
Calcular a integral interna usando o que dissemos:
Agora avalio a primitiva nos extremos:
Portanto a integral interna vale
:
Passo 4
Agora substituo o resultado da integral interna na integral externa e resolvo:
Puxando a constante
para fora (ou usando linearidade):
Uma primitiva de
(em relação a
) é
. Então
Passo 5
Avalio a primitiva nos limites:
Multiplicando por
:
Então a integral dupla tem valor
.
Passo 6
Observação alternativa rápida (útil para prova): como
é produto de uma função só de
por uma função só de
e a região é um retângulo, podemos separar:
Calculando cada uma:
e
, produto
. Dá o mesmo resultado, é mais rápido quando a região é retangular.