Calcule as integrais
ointC e^z(z^2+4) d z,onde o caminho C é quadrado z=-2, z=2, z=2+4 i, z=-2+4 i, no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede
onde é o quadrado com vértices em , , , , percorrido no sentido horário.
Conteúdo: usar o Teorema dos Resíduos para funções meromorfas. Como a orientação é horária (negativa), a fórmula será

Passo 2

Identificamos os pólos de f(z)=e^zz^2+4 resolvendo
z^2+4=0Longrightarrow z=pm2i
O quadrado em questão é o retângulo x+iymid -2<= x<=2,;0<= y<=4, logo apenas z=2i (com Im z=2) está dentro de C.

Passo 3

Calcular a resíduo em . Como é polo simples,

Passo 4

Pela orientação horária, a integral vale
ointCe^zz^2+4,dz =-2pi i;e^2i4i =-2pi i4i,e^2i =-pi2,e^2i

Resposta

-pi2,e^2i

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