Desenvolva a série de Laurent das funções
(a)
f(z)=z^2 sin (1z^2)

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
f(z)=z^2,sin!l(tfrac1z^2r)
em torno de z=0. Para isso vamos usar a série de Taylor de sin w e depois substituir w=1/z^2, gerando potências negativas de z.

Passo 2

Lembrando a série de Taylor de sin w em torno de w=0:
sin w ;=;sumn=0^infty(-1)^n,w^2n+1(2n+1)!,

Passo 3

Fazendo w=tfrac1z^2 na série acima, obtemos
sin!l(tfrac1z^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,l(tfrac1z^2r)^2n+1(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^n,z^-4n-2(2n+1)!,

Passo 4

Multiplicando por z^2, a função vira
f(z)=z^2,sin!l(tfrac1z^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,z^2,z^-4n-2(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^n,z^-4n(2n+1)!,

Passo 5

Escrevendo os primeiros termos (para n=0,1,2,dots):
f(z) =z^01! -z^-43! +z^-85! -z^-127! +cdots =1-16,z^-4+1120,z^-8-15040,z^-12+cdots

Resposta

f(z)=sumn=0^infty(-1)^n,z^-4n(2n+1)! =1-16z^-4+1120z^-8-15040z^-12+cdots

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