Desenvolva a série de Taylor (McLaurin) das funções (em todos os casos indique a região onde a série é válida)
(a)
f(z)=sin z, f(z)=z cosh z^2, f(z)=11-z, f(z)=zz^4+9
em torno da origem ( z0=0 ).

Passo 1

O problema pede as séries de Taylor (Maclaurin) de quatro funções em torno de z=0 e também que a gente indique a região de convergência de cada série. Vamos usar as séries-padrão:
  • sin z
  • cosh w com w=z^2
  • série geométrica tfrac11-u
    e manipular cada função para encaixar nessas formas.

Passo 2

Para f(z)=sin z usamos a expansão bem conhecida
sin z = sumn=0^infty(-1)^nz^2n+1(2n+1)!
Essa série converge para todo zinC, ou seja, raio de convergência infinito.

Passo 3

Para f(z)=zcosh(z^2) começamos de
cosh w = sumn=0^inftyw^2n(2n)!,
onde agora w=z^2. Logo
cosh(z^2)=sumn=0^inftyz^4n(2n)! Longrightarrow zcosh(z^2)=sumn=0^inftyz^4n+1(2n)!
Também aqui o raio de convergência é infinito.

Passo 4

Para f(z)=11-z usamos a série geométrica
11-z=sumn=0^inftyz^n,
válida sempre que lvert zrvert<1.

Passo 5

Para f(z)=zz^4+9 escrevemos
zz^4+9 =z9,11+z^49 =z9sumn=0^infty(-1)^nl(z^49r)^n =sumn=0^infty(-1)^nz^4n+19^,n+1
Essa série converge quando
l|tfracz^49r|<1, isto é, lvert zrvert<9^1/4=raiz3.

Resposta

Para as quatro funções, as expansões em Maclaurin e regiões de validade são:
(a) sin z=sumn=0^infty(-1)^nz^2n+1(2n+1)!,RC: |z|<infty
(b) zcosh(z^2)=sumn=0^inftyz^4n+1(2n)!,RC: |z|<infty
(c) 11-z=sumn=0^inftyz^n,RC: |z|<1
(d) zz^4+9=sumn=0^infty(-1)^nz^4n+19^,n+1,RC: |z|<raiz3

Exercícios relacionados