Desenvolva a série de Taylor (McLaurin) das funções (em todos os casos indique a região onde a série é válida)
(a)
em torno da origem ( ).
Passo 1
O problema pede as séries de Taylor (Maclaurin) de quatro funções em torno de e também que a gente indique a região de convergência de cada série. Vamos usar as séries-padrão:
com
série geométrica
e manipular cada função para encaixar nessas formas.
Passo 2
Para usamos a expansão bem conhecida
Essa série converge para todo , ou seja, raio de convergência infinito.
Passo 3
Para começamos de
onde agora . Logo
Também aqui o raio de convergência é infinito.
Passo 4
Para usamos a série geométrica
válida sempre que .
Passo 5
Para escrevemos
Essa série converge quando , isto é, lvert zrvert<9^1/4=raiz3.
Resposta
Para as quatro funções, as expansões em Maclaurin e regiões de validade são:
(a) sin z=sumn=0^infty(-1)^nz^2n+1(2n+1)!,RC: |z|<infty