Calcule as integrais
ointC f(z) d z onde f(z)=1z+z^2, f(z)=sinh zz^4(1-z^2)onde C é o círculo |z|=1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede duas integrais de contorno
ointCf(z),dz
em que C é o círculo lvert zrvert=1/2, para
f(z)=1z+z^2 e f(z)=sinh zz^4(1-z^2)
O método é usar o Teorema dos Resíduos, identificando quais singularidades estão dentro de lvert zrvert<1/2 e calculando seus resíduos.

Passo 2

Para
as singularidades são e . Dentro de . O resíduo em é

Passo 3

Pelo Teorema dos Resíduos,

Passo 4

Para
as singularidades são (polo de ordem 4) e . Apenas fica dentro de . Para achar o resíduo de ordem 4 em , expandimos
O produto é
Dividindo por obtemos a série de Laurent
de onde

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos,
ointCsinh zz^4(1-z^2),dz =2pi icdot76 =73,pi i

Resposta

ointC1z+z^2,dz = 2pi i, ointCsinh zz^4(1-z^2),dz = 73,pi i

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