Calcule as integrais
& ointC f(z) d z onde f(z)=z+1z^2-2 z, f(z)=z^51-z^3 & f(z)=1z(e^z-1), f(z)=(z2 z+1)^3onde C é o círculo |z|=10.

Passo 1

O enunciado pede calcular as integrais de contorno ointC f(z),dz para quatro funções diferentes, sobre o círculo lvert zrvert=10. O método é usar o Teorema dos Resíduos, que diz que
ointC f(z),dz = 2pi i sum,polos zk dentro de C !!Res(f;zk)
Para cada função, vamos identificar suas singularidades com lvert zkrvert<10, calcular os resíduos e somar.

Passo 2

Para
f(z)=z+1z^2-2z ;=;z+1z(z-2),
há polos simples em z=0 e z=2.
  • Em z=0:
Res(f;0) =limzto0z;z+1z(z-2) =1-2=-tfrac12
  • Em z=2:
Res(f;2) =limzto2(z-2);z+1z(z-2) =32
Somando dá -tfrac12+tfrac32=1, logo
ointCz+1z^2-2z,dz =2pi icdot1 =2pi i

Passo 3

Para
f(z)=z^51-z^3,
os polos simples ocorrem em z^3=1, i.e.\ zk=e^2pi i k/3 para k=0,1,2, todos com lvert zkrvert=1<10. Em cada zk:
Res(f;zk) =limzto zk(z-zk)z^51-z^3 =zk^5-3zk^2 =-zk^33 =-tfrac13,
pois zk^3=1. Há três polos, soma -1, então
ointCz^51-z^3,dz =2pi icdot(-1) =-2pi i

Passo 4

Para
f(z)=1z,(e^z-1),
temos:
  • Polo duplo em z=0 (porque e^z-1sim z).
  • Polos simples em e^z=1, i.e.\ z=2pi i k. Dentro de lvert zrvert<10 k=pm1, com Res(f;pm2pi i)=1/(pm2pi i), cuja soma é zero.
    No polo duplo z=0 usamos
Res(f;0) =limzto0ddzl(z^2f(z)r) =limzto0ddz!l(tfracze^z-1r) =-tfrac12
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ointC1z(e^z-1),dz =2pi icdotl(-tfrac12r) =-pi i

Passo 5

Para
f(z)=l(tfracz2z+1r)^3
há um único polo de ordem 3 em z=-tfrac12. Note que
2z+1=2l(z+tfrac12r), f(z)=z^38,(z+tfrac12)^3
O resíduo em polo de ordem 3 é
Res(f;-tfrac12) =12!limzto -tfrac12d^2dz^2!l((z+tfrac12)^3f(z)r) =12limzto -tfrac12d^2dz^2!l(tfracz^38r)
Como tfracd^2dz^2(z^3/8)=tfrac3z4, em z=-tfrac12 vale -tfrac38. Dividindo por 2 -tfrac316. Assim
ointCl(tfracz2z+1r)^3,dz =2pi icdotl(-tfrac316r) =-3pi i8

Resposta

ointCz+1z^2-2z,dz = 2pi i ointCz^51-z^3,dz = -2pi i ointC1z(e^z-1),dz = -pi i ointCl(z2z+1r)^3,dz = -3pi i8

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