Calcule as integrais
onde
é o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede calcular as integrais de contorno
para quatro funções diferentes, sobre o círculo
. O método é usar o Teorema dos Resíduos, que diz que
Para cada função, vamos identificar suas singularidades com
, calcular os resíduos e somar.
Passo 2
Para
há polos simples em
e
.
- Em
:
- Em
:
Somando dá
, logo
Passo 3
Para
os polos simples ocorrem em
, i.e.\
para
, todos com
. Em cada
:
pois
. Há três polos, soma
, então
Passo 4
Para
temos:
- Polo duplo em
(porque ). - Polos simples em
, i.e.\ . Dentro de só , com , cuja soma é zero.
No polo duplousamos
Logo
Passo 5
Para
há um único polo de ordem
em
. Note que
O resíduo em polo de ordem
é
Como
, em
vale
. Dividindo por
dá
. Assim