Calcule os resíduos da função
f(z)=cos zsin z

Passo 1

O enunciado pede os resíduos da função
f(z)=cos zsin z
Isso é cálculo de resíduos de função meromorfa: vamos usar que os polos vêm dos zeros de sin z e aplicar a fórmula de resíduo em polo simples.

Passo 2

Determinar os polos resolvendo
sin z=0Longrightarrow z=kpi, kinZ
Como sin' (kpi)=cos(kpi)=(-1)^kneq0, cada zero é simples e cada z=kpi é polo simples de f.

Passo 3

Para um polo simples z0 de f(z)=g(z)/h(z) com g(z0)neq0 e h(z0)=0, vale
Res(f,z0)=g(z0)h'(z0)
Aqui g(z)=cos z e h(z)=sin z.

Passo 4

Em z0=kpi temos
g(kpi)=cos(kpi)=(-1)^k, h'(kpi)=cos(kpi)=(-1)^k,
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Resl(f,kpir)=(-1)^k(-1)^k=1

Resposta

Para todo kinZ,
Resl(f,z=kpir)=1

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