Calcule as integrais
integral duplaR(x+y) d A onde R é a região limitada por y=x^2 e y=2 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Precisamos calcular a integral dupla de (x + y) sobre a região R , que é delimitada pelas curvas y = x^2 e y = 2x . Isso faz parte da matéria de cálculo de integrais múltiplas. Para resolver, vamos identificar os limites de integração e aplicar a fórmula da integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as curvas y = x^2 e y = 2x se encontram. Igualando as duas equações:
x^2 = 2x
Resolvendo:
x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 x = 0 ou x = 2
Então, os pontos de interseção são (0, 0) e (2, 4) .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região R . Entre x = 0 e x = 2 , a reta y = 2x está acima da parábola y = x^2 . Isso significa que, para cada valor de x nesse intervalo, y varia de x^2 até 2x .

Passo 4

Com isso, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em y e depois em x :
integral duplaR (x + y) , dA = integral0^2 ( integralx^2^2x (x + y) , dy ) dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a y :
integralx^2^2x (x + y) , dy = integralx^2^2x x , dy + integralx^2^2x y , dy
Calculando cada parte:
integralx^2^2x x , dy = x cdot (2x - x^2) = 2x^2 - x^3
integralx^2^2x y , dy = [ y^22 ]x^2^2x = 4x^22 - x^42 = 2x^2 - x^42
Somando as duas partes:
2x^2 - x^3 + 2x^2 - x^42 = 4x^2 - x^3 - x^42

Passo 6

Substituindo de volta na integral externa:
integral0^2 (4x^2 - x^3 - x^42) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral 4x^2 , dx = 4x^33 integral x^3 , dx = x^44 integral x^42 , dx = x^510
Então, a integral fica:
4x^33 - x^44 - x^510 gr|0^2

Passo 7

Agora, avaliamos nos limites de 0 a 2:
Para x = 2 :
4(2)^33 - (2)^44 - (2)^510 = 323 - 4 - 3.2 = 323 - 7.2 = 10.43
Para x = 0 , tudo fica zero. Portanto, a resposta final é 10.43 , que é aproximadamente 3.467.

Resposta

O valor da integral dupla é 10.43 , ou aproximadamente 3.467.

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