na variável , com .
a) Determine , com e reais, para que o número complexo 2i seja uma das raízes da equação.
b) Determine todas as raízes da equação quando .
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
com . Na parte (a) queremos determinar tal que seja raiz, o que exige substituir , separar partes real e imaginária e resolver o sistema para . Na parte (b) tomamos e precisamos fatorar o polinômio resultante, encontrando todas as raízes no conjunto .
Passo 2
Para (a), substituímos
Calculamos as potências:
Logo
Escrevendo , temos
Igualando parte real e imaginária a zero:
Da segunda equação (4b=6a\Rightarrow b=\tfrac{3}{2}a]. Substituindo na primeira:
Passo 3
Para (b), com k=5 o polinômio fica
-x^4 +5x^3 -5x^2 +5x -4 = 0
Multiplicamos tudo por -1 para facilitar:
x^4 -5x^3 +5x^2 -5x +4 = 0
Testando raízes inteiras (pm1,pm2,pm4), vemos que x=1 anula:
1 -5 +5 -5 +4 = 0
Fazendo divisão sintética por x-1 obtemos o quociente
x^3 -4x^2 + x -4
Agrupando:
x^3-4x^2 + x -4 = (x^2)(x-4) +1(x-4) = (x-4)(x^2+1)
Logo as raízes são
x=1, x=4, x^2+1=0;Longrightarrow; x=pm i
Resposta
(a) k = 2013 + 3013,i
(b) As raízes são x=1,;x=4,;x=i,;x=-i