-x^4+k x^3-k x^2+k x-4=0
na variável x, com k in C.
a) Determine k=a+b i, com a e b reais, para que o número complexo 2i seja uma das raízes da equação.
b) Determine todas as raízes da equação quando k=5.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
-x^4 + k,x^3 - k,x^2 + k,x - 4 = 0
com kinC. Na parte (a) queremos determinar k=a+bi tal que 2i seja raiz, o que exige substituir x=2i, separar partes real e imaginária e resolver o sistema para a,b. Na parte (b) tomamos k=5 e precisamos fatorar o polinômio resultante, encontrando todas as raízes no conjunto C.

Passo 2

Para (a), substituímos
Calculamos as potências:
Logo
Escrevendo , temos
Igualando parte real e imaginária a zero:
Da segunda equação (4b=6a\Rightarrow b=\tfrac{3}{2}a]. Substituindo na primeira:

Passo 3

Para (b), com k=5 o polinômio fica
-x^4 +5x^3 -5x^2 +5x -4 = 0
Multiplicamos tudo por -1 para facilitar:
x^4 -5x^3 +5x^2 -5x +4 = 0
Testando raízes inteiras ( pm1,pm2,pm4), vemos que x=1 anula:
1 -5 +5 -5 +4 = 0
Fazendo divisão sintética por x-1 obtemos o quociente
x^3 -4x^2 + x -4
Agrupando:
x^3-4x^2 + x -4 = (x^2)(x-4) +1(x-4) = (x-4)(x^2+1)
Logo as raízes são
x=1, x=4, x^2+1=0;Longrightarrow; x=pm i

Resposta

(a) k = 2013 + 3013,i
(b) As raízes são x=1,;x=4,;x=i,;x=-i

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