Descreva em coordenadas esféricas o sólido
limitado inferiormente pelo plano
, superiormente pelo cone
e lateralmente pelo cilindro
. Escreva na forma de uma integral iterada a integral
Passo 1
O enunciado pede calcular
para o sólido
limitado inferiormente pelo plano
, superiormente pelo cone
e lateralmente pelo cilindro
. Vamos usar coordenadas esféricas
definidas por
,
,
e
pois isso facilita a descrição do sólido.
Passo 2
Em esféricas, o plano
corresponde a
e o cone a
. Como
fica entre essas superfícies,
varia de
até
. A projeção lateral do cilindro
dá
, logo para cada
fixo temos
O ângulo
descreve um circuito completo, de
a
.
Passo 3
O integrando
em esféricas é
. Multiplicando pelo Jacobiano
, obtemos a função a integrar
Passo 4
Agora juntamos limites e integrando para montar a integral iterada:
Resposta
A integral pedida em coordenadas esféricas é