Descreva em coordenadas esféricas o sólido T limitado inferiormente pelo plano x y, superiormente pelo cone phi=pi6 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1. Escreva na forma de uma integral iterada a integral
integral tripla(x^2+y^2+z^2) d V
T

Passo 1

O enunciado pede calcular integral triplaT(x^2+y^2+z^2),dV para o sólido T limitado inferiormente pelo plano z=0, superiormente pelo cone phi=pi6 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1. Vamos usar coordenadas esféricas (rho,theta,phi) definidas por x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta,
pois isso facilita a descrição do sólido.

Passo 2

Em esféricas, o plano z=0 corresponde a phi=pi2 e o cone a phi=pi6. Como T fica entre essas superfícies, phi varia de pi6 até pi2. A projeção lateral do cilindro x^2+y^2=1 rhosinphi=1, logo para cada phi fixo temos
0 <= rho <= 1sinphi
O ângulo theta descreve um circuito completo, de 0 a 2pi.

Passo 3

O integrando (x^2+y^2+z^2) em esféricas é rho^2. Multiplicando pelo Jacobiano rho^2sinphi, obtemos a função a integrar
rho^4sinphi

Passo 4

Agora juntamos limites e integrando para montar a integral iterada:
integraltheta=0^2pi integralphi=pi6^pi2 integralrho=0^1sinphi rho^4sinphi,drho,dphi,dtheta

Resposta

A integral pedida em coordenadas esféricas é
integral0^2pi integralpi6^pi2 integral0^1sinphi rho^4sinphi,drho,dphi,dtheta

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