Calcule as integrais por partes:
integral x cdot cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x cos x ,dx
usando a técnica de integração por partes, cujo fundamento vem da regra do produto:
ddx(u,v)=u',v+u,v'
e leva à fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as partes de modo a simplificar o resultado:
u = x, dv = cos x,dx
Essa escolha é clássica, pois x é uma função algébrica que fica mais simples ao derivar, e cos x integra bem.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = dx, v = integral cos x,dx = sin x

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral x cos x,dx = u,v - integral v,du = xsin x - integral sin x,dx
Agora basta integrar sin x:
integral sin x,dx = -cos x,
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integral x cos x,dx = xsin x - (-cos x) + C = xsin x + cos x + C

Resposta

integral x cos x,dx = xsin x + cos x + C

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