Exercício 1. Resolva as seguintes equações.
8^x^2-x=4^x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
8^x^2-x=4^x+1
O conteúdo é equações exponenciais e usaremos propriedades de potências para reescrever as bases com um mesmo expoente comum.

Passo 2

Reescrevemos 8 e 4 como potências de 2:
8 = 2^3, 4 = 2^2
Logo a equação vira
(2^3)^,x^2-x ;=;(2^2)^,x+1

Passo 3

Aplicando a lei de potência de potência ( (a^m)^n=a^mn), obtemos
2^,3(x^2-x) ;=;2^,2(x+1)

Passo 4

Como a exponencial de base 2 é injetora, igualamos os expoentes:
3(x^2-x)=2(x+1)

Passo 5

Expandindo e organizando em forma padrão:
3x^2-3x=2x+2 Longrightarrow 3x^2-5x-2=0

Passo 6

Usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = (-5)^2-4cdot3cdot(-2)=25+24=49,
portanto
x = 5pmraiz496 =5pm76,
que gera as raízes
x=2 e x=-tfrac13

Resposta

x=2 ou x=-tfrac13.

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