Calcule as integrais:
(8 pontos) integral 4 x^2-3 x+2x^2-2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 4x^2-3x+2x^2-2x+1,dx
Este é um caso de função racional em que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador. Vamos usar divisão polinomial para separar em parte polinomial mais uma fração própria e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Fazendo a divisão de 4x^2-3x+2 por x^2-2x+1, obtemos quociente 4 e resto 5x-2. Logo,
4x^2-3x+2x^2-2x+1 =4 + 5x-2(x-1)^2

Passo 3

Agora decomponho o numerador da fração própria:
5x-2 = 5(x-1) + 3,
então
5x-2(x-1)^2 = 5(x-1)+3(x-1)^2 = 5x-1 + 3(x-1)^2
Logo a integral original vira
integral 4x^2-3x+2x^2-2x+1,dx = integral l(4 + 5x-1 + 3(x-1)^2r),dx

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
  • integral 4,dx = 4x.
  • integral 5x-1,dx = 5lnl|x-1r|.
  • integral 3(x-1)^2,dx = 3integral (x-1)^-2,dx = 3l(- (x-1)^-1r) = -3x-1

Passo 5

Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos
4x + 5lnl|x-1r| - 3x-1 + C

Resposta

4x + 5lnl|x-1r| - 3x-1 + C

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