6.3 Operadores Lineares
Um operador
Omega é uma operação que leva um vetor do espaço vetorial em outro. Matematicamente,
widehatOmega|Vrang<==|V^primerang<=, lang<= V| widehatOmega=lang<= V^prime|
O operador será linear se satisfizer as seguintes propriedades:
widehatOmega(alpha|Vrang<=)=alpha(widehatOmega|Vrang<=)
widehatOmega(alpha|Virang<=+beta|Vjrang<=)=alpha(widehatOmega|Virang<=)+beta(widehatOmega|Vjrang<=) ,
e analogamente para os
6 r alang<= V| . Na notação de Dirac, os operadores são representados por matrizes quadradas
N times N .
Vale salientar que, em geral,
widehatOmega^prime(widehatOmega|Vrang<=) neq widehatOmega(widehatOmega^prime|Vrang<=)
Podemos assim definir o comutador entre dois operadores como sendo:
[widehatOmega, barOmega^prime]=widehatOmega barOmega^prime-barOmega^prime widehatOmega
Quando a ordem dos operadores não importa, o comutador zera e dizemos que os dois operadores comutam.
Exercício II.17: Mostre que o operador identidade pode ser escrito como:
1=sumi=1^N|eirang<=lang<= ei| 𝟙
Finalmente, se um operador
Omega atuando em um ket
|Vrang<= fornece o vetor
widehatOmega|Vrang<==|widehatOmega Vrang<= , então:
(|widehatOmega Vrang<=)^dag>=r=(widehatOmega|Vrang<=)^dag>=r equivlang<= V| widehatOmega^dag>=r,
onde
widehatOmega^dag>=r=(widehatOmega)^* T é conhecido como operador adjunto de
widehatOmega . Em particular, quando
widehatOmega=widehatOmega^dag>=r , dizemos que o operador é autoadjunto ou hermitiano.
Operadores hermitianos na MQ serão a representação matemática dos observáveis físicos.