6.3 Operadores Lineares

Um operador Omega é uma operação que leva um vetor do espaço vetorial em outro. Matematicamente,
widehatOmega|Vrang<==|V^primerang<=, lang<= V| widehatOmega=lang<= V^prime|
O operador será linear se satisfizer as seguintes propriedades:
  1. widehatOmega(alpha|Vrang<=)=alpha(widehatOmega|Vrang<=)
  2. widehatOmega(alpha|Virang<=+beta|Vjrang<=)=alpha(widehatOmega|Virang<=)+beta(widehatOmega|Vjrang<=),
    e analogamente para os 6 r alang<= V|. Na notação de Dirac, os operadores são representados por matrizes quadradas N times N.
Vale salientar que, em geral,
widehatOmega^prime(widehatOmega|Vrang<=) neq widehatOmega(widehatOmega^prime|Vrang<=)
Podemos assim definir o comutador entre dois operadores como sendo:
[widehatOmega, barOmega^prime]=widehatOmega barOmega^prime-barOmega^prime widehatOmega
Quando a ordem dos operadores não importa, o comutador zera e dizemos que os dois operadores comutam.
Exercício II.17: Mostre que o operador identidade pode ser escrito como:
1=sumi=1^N|eirang<=lang<= ei| 𝟙
Finalmente, se um operador Omega atuando em um ket |Vrang<= fornece o vetor widehatOmega|Vrang<==|widehatOmega Vrang<=, então:
(|widehatOmega Vrang<=)^dag>=r=(widehatOmega|Vrang<=)^dag>=r equivlang<= V| widehatOmega^dag>=r,
onde widehatOmega^dag>=r=(widehatOmega)^* T é conhecido como operador adjunto de widehatOmega. Em particular, quando widehatOmega=widehatOmega^dag>=r, dizemos que o operador é autoadjunto ou hermitiano.
Operadores hermitianos na MQ serão a representação matemática dos observáveis físicos.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que o operador identidade em um espaço de dimensão N pode ser escrito como
1 ;=;sumi=1^N|eirang<=lang<= ei|, 𝟙
onde lvert eirang<= é uma base ortonormal. Vamos usar o fato de que essa base é completa e usa a ortonormalidade lang<= ei|ejrang<==de<aij.

Passo 2

Seja lvert Vrang<= um ket genérico do nosso espaço. Como a base lvert eirang<= é completa, podemos escrever
lvert Vrang<= ;=;sumj=1^Ncj,lvert ejrang<=,
com cj=lang<= ej|Vrang<=.

Passo 3

Agora definimos o operador
widehatO ;=;sumi=1^Nlvert eirang<=lang<= eirvert
e aplicamos em lvert Vrang<=:
widehatO,lvert Vrang<= =sumi=1^Nlvert eirang<=lang<= eirvert l(sumj=1^Ncj,lvert ejrang<=r)

Passo 4

Usando linearidade e ortonormalidade, ficamos com
widehatO,lvert Vrang<= =sumi=1^Nsumj=1^Ncj, lvert eirang<=underbracelang<= eivert ejrang<=de<aij =sumi=1^Nci,lvert eirang<= =lvert Vrang<=
Isso mostra que widehatO age como o operador identidade em qualquer ket.

Passo 5

Como sumi=1^Nlvert eirang<=lang<= eirvert reproduz todo vetor lvert Vrang<= sem alterá-lo, concluímos que esse somatório é, de fato, 1𝟙.

Resposta

boxed1=sumi=1^N|eirang<=lang<= ei| 𝟙

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