Calcule as integrais primitivas e aprensete os calculos:
integral 5 x^3 cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral primitiva de 5x^3 cos x em relação a x. Isso significa que queremos encontrar uma função cuja derivada seja 5x^3 cos x. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser u e dv. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivada, e dv como a parte restante.
Vamos definir:
u = 5x^3 e dv = cos x , dx

Passo 3

Agora, vamos encontrar du e v:
Derivando u:
du = ddx(5x^3) , dx = 15x^2 , dx
Integrando dv para encontrar v:
v = integral cos x , dx = sin x

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral 5x^3 cos x , dx = uv - integral v , du = 5x^3 sin x - integral sin x cdot 15x^2 , dx
Simplificando:
integral 5x^3 cos x , dx = 5x^3 sin x - 15 integral x^2 sin x , dx

Passo 5

Agora, temos uma nova integral: integral x^2 sin x , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes nesse caso.
Definimos:
u = x^2 e dv = sin x , dx

Passo 6

Calculando du e v:
Derivando u:
du = ddx(x^2) , dx = 2x , dx
Integrando dv:
v = integral sin x , dx = -cos x

Passo 7

Aplicando a integração por partes novamente:
integral x^2 sin x , dx = uv - integral v , du = x^2 (-cos x) - integral (-cos x) cdot 2x , dx
Simplificando:
integral x^2 sin x , dx = -x^2 cos x + 2 integral x cos x , dx

Passo 8

Agora, precisamos resolver integral x cos x , dx. Vamos aplicar integração por partes mais uma vez.
Definimos:
u = x e dv = cos x , dx

Passo 9

Calculando du e v:
Derivando u:
du = ddx(x) , dx = dx
Integrando dv:
v = integral cos x , dx = sin x

Passo 10

Aplicando a integração por partes:
integral x cos x , dx = uv - integral v , du = x sin x - integral sin x , dx
Integrando sin x:
integral sin x , dx = -cos x
Então:
integral x cos x , dx = x sin x + cos x

Passo 11

Voltando para a etapa anterior, substituímos o resultado:
integral x^2 sin x , dx = -x^2 cos x + 2(x sin x + cos x) = -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x

Passo 12

Agora, substituímos esse resultado na expressão original:
integral 5x^3 cos x , dx = 5x^3 sin x - 15(-x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x)
Distribuindo o -15:
integral 5x^3 cos x , dx = 5x^3 sin x + 15x^2 cos x - 30x sin x - 30 cos x

Resposta

Portanto, a integral primitiva é:
integral 5x^3 cos x , dx = 5x^3 sin x + 15x^2 cos x - 30x sin x - 30 cos x + C
onde C é a constante de integração.

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