Calcule as integrais primitivas e aprensete os calculos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral primitiva de
em relação a
. Isso significa que queremos encontrar uma função cuja derivada seja
. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada, e
como a parte restante.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
e
:
Derivando
:
Integrando
para encontrar
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma nova integral:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes nesse caso.
Definimos:
Passo 6
Calculando
e
:
Derivando
:
Integrando
:
Passo 7
Aplicando a integração por partes novamente:
Simplificando:
Passo 8
Agora, precisamos resolver
. Vamos aplicar integração por partes mais uma vez.
Definimos:
Passo 9
Calculando
e
:
Derivando
:
Integrando
:
Passo 10
Aplicando a integração por partes:
Integrando
:
Então:
Passo 11
Voltando para a etapa anterior, substituímos o resultado:
Passo 12
Agora, substituímos esse resultado na expressão original:
Distribuindo o
:
Resposta
Portanto, a integral primitiva é:
onde
é a constante de integração.