Determine se as séries convergem ou divergem:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Note que o termo para
não está definido, pois
, então na prática começamos em
. O conteúdo principal aqui é o Teste da Integral para séries de termos positivos e decrescentes.
Passo 2
Definimos a função
Observamos que
e que, para
, a derivada
é negativa, isto é,
é decrescente em
. Assim, podemos aplicar o Teste da Integral comparando a série com
Passo 3
Escrevemos a integral impropria a avaliar:
Passo 4
Fazemos a substituição
, de modo que
. Quando
,
; quando
,
. A integral fica
Calculamos
que é finito.
Passo 5
Como a integral
converge, pelo Teste da Integral a série
também converge. Logo, a série original (a partir de
) é convergente.
Resposta
A série converge.