Determine se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty 1n(ln (n))^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 1n(ln(n))^2
converge ou diverge. Note que o termo para n=1 não está definido, pois ln(1)=0, então na prática começamos em n=2. O conteúdo principal aqui é o Teste da Integral para séries de termos positivos e decrescentes.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=1x(ln x)^2, x>= 2
Observamos que f(x)>0 e que, para x>= 2, a derivada
f'(x)
é negativa, isto é, f é decrescente em [2,infty). Assim, podemos aplicar o Teste da Integral comparando a série com
integral2^infty f(x),dx

Passo 3

Escrevemos a integral impropria a avaliar:
integral2^infty 1x(ln x)^2,dx

Passo 4

Fazemos a substituição u=ln x, de modo que du=dxx. Quando x=2, u=ln2; quando xtoinfty, utoinfty. A integral fica
integralln2^infty 1u^2,du
Calculamos
integralln2^infty u^-2,du =l[-u^-1r]ln2^infty =l(0 - (-tfrac1ln2)r) =1ln2,
que é finito.

Passo 5

Como a integral
integral2^infty1x(ln x)^2,dx
converge, pelo Teste da Integral a série
sumn=2^infty1n(ln n)^2
também converge. Logo, a série original (a partir de n=2) é convergente.

Resposta

A série converge.

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