Determine se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty 1n^p para p>1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty1n^p
quando p>1.
O conteúdo principal que vamos usar é o critério da integral para séries de termos positivos e decrescentes (p-série).

Passo 2

Para aplicar o critério da integral, observamos que a sequência de termos
l(anr) dada por
an = 1n^p
é positiva e decrescente para n>=1 sempre que p>0. O critério afirma que a série sum an converge se, e somente se, a integral imprópria
integral1^infty f(x),dx
converge, onde escolhemos f(x)=x^-p, que coincide com an em x=n.

Passo 3

Vamos calcular
integral1^infty x^-p,dx
Como pneq1, temos
integral x^-p,dx = x^-p+1-p+1 + C
Logo,
integral1^infty x^-p,dx = limbtoinfty[x^-p+1-p+1]1^b = limbtoinftyb^1-p-11-p
Se p>1, então 1-p<0 e b^1-pto0 quando btoinfty. Assim a integral converge e vale
integral1^infty x^-p,dx = 1p-1

Passo 4

Pelo critério da integral, como
integral1^infty x^-p,dx < infty
para todo p>1, a série
sumn=1^inftyn^-p converge sempre que p>1.

Resposta

A série sumn=1^infty1n^p converge para todo p>1.

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