Determine se as séries convergem ou divergem:
para
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
quando
.
O conteúdo principal que vamos usar é o critério da integral para séries de termos positivos e decrescentes (p-série).
O conteúdo principal que vamos usar é o critério da integral para séries de termos positivos e decrescentes (p-série).
Passo 2
Para aplicar o critério da integral, observamos que a sequência de termos
dada por
é positiva e decrescente para
sempre que
. O critério afirma que a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge, onde escolhemos
, que coincide com
em
.
Passo 3
Vamos calcular
Como
, temos
Logo,
Se
, então
e
quando
. Assim a integral converge e vale
Passo 4
Pelo critério da integral, como
para todo
, a série
converge sempre que
.
Resposta
A série
converge para todo
.