Calcule as integrais:
\quad \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) d \tau

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau,
que envolve a função delta de Dirac. Vamos usar a propriedade de amostragem do delta para resolver.

Passo 2

A propriedade de amostragem do delta diz que
\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\,\delta(\tau-a)\,d\tau = f(a).
Além disso, a função delta é par, ou seja, \delta(t-\tau)=\delta(\tau-t).

Passo 3

Usando essas ideias, reescrevemos
\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,\delta(\tau-t)\,d\tau = x(t).

Resposta

x(t)

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