Identifique os pontos de máximo e mínimo absolutos da função:
f(x, y)=x^{2}+x y+y^{2}
na regiāo:
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;|x| \leq 3 \text { e } x^{2} \leq y \leq 9\right\}

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=x^{2}+x\,y+y^{2}
no conjunto compacto
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid |x|\le3,\;x^{2}\le y\le9\}.
Como f é contínua e D é compacto, mínimos e máximos absolutos existem. Vamos buscar pontos críticos no interior ( \nabla f=0) e depois examinar cada parte da fronteira de D.

Passo 2

No interior de D\) temos \[\nabla f=(2x+y,\;x+2y)=0
que gera o sistema
\begin{cases} 2x+y=0,\\\ x+2y=0. \end{cases}
Da primeira equação y=-2x\]. Substituindo na segunda: \[x+2(-2x)=x-4x=-3x=0\implies x=0,\quad y=0.\] Logo o único crítico interno é \((0,0), que satisfaz x^2=0\le y=0\le9 e |0|\le3.

Passo 3

Avaliaremos
f(0,0)=0^{2}+0\cdot0+0^{2}=0.

Passo 4

Na fronteira inferior y=x^{2} com -3\le x\le3, definimos
g(x)=f\bigl(x,x^{2}\bigr)=x^{2}+x\cdot x^{2}+(x^{2})^{2}=x^{2}+x^{3}+x^{4}.
Derivando em relação a x:
g'(x)=2x+3x^{2}+4x^{3}=x(4x^{2}+3x+2).
A equação g'(x)=0 só tem raiz real x=0 (o fator quadrático não zera).
- Em x=0: g(0)=0.
- Nos extremos do intervalo:
g(-3)=(-3)^{4}+(-3)^{3}+(-3)^{2}=81-27+9=63,
g(3)=81+27+9=117.

Passo 5

Na fronteira superior y=9 com -3\le x\le3, definimos
h(x)=f(x,9)=x^{2}+9x+9^{2}=x^{2}+9x+81.
Derivando:
h'(x)=2x+9,
que zera em x=-\tfrac92, fora de [-3,3]. Assim os extremos ocorrem nas pontas:
h(-3)=9-27+81=63,
h(3)=9+27+81=117.

Passo 6

Candidatos a extremos absolutos e seus valores de f:
(0,0),\;f=0; \quad (-3,9),\;f=63; \quad (3,9),\;f=117.
Comparando, o mínimo absoluto é 0 em (0,0) e o máximo absoluto é 117 em (3,9).

Resposta

O mínimo absoluto de f em D ocorre em (0,0) e o máximo absoluto ocorre em (3,9).

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