Seja \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right) uma amostra aleatória simples de uma variável aleatória X. Dados os estimadores, verifique os seguintes itens:
\widehat{\sigma}^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{n} é viciado.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: uma amostra aleatória simples \left(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\right) de uma variável X com média \mu=\mathbb{E}(X) e variância \sigma^{2}=\mathrm{Var}(X).
  • Estimador dado:
\widehat{\sigma}^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{n},
onde \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
  • Objetivo: verificar se \widehat{\sigma}^{2} é viciado (isto é, determinar se \mathbb{E}\!\left(\widehat{\sigma}^{2}\right)=\sigma^{2} ou não).

Passo 2

O que significa “viciado”?
  • Definição: o viés (bias) de um estimador \widehat{\theta} do parâmetro \theta é
\text{Bias}(\widehat{\theta})=\mathbb{E}(\widehat{\theta})-\theta.
  • Se \mathbb{E}(\widehat{\theta})=\theta, o estimador é não viciado (unbiased). Caso contrário, é viciado.
    Logo, para decidir se \widehat{\sigma}^{2} é viciado devemos calcular \mathbb{E}\!\left(\widehat{\sigma}^{2}\right) e compará-la com \sigma^{2}.

Passo 3

Uma identidade algébrica útil. Vou reescrever \sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2} em termos de \mu. Começo expandindo (X_{i}-\mu) como (X_{i}-\bar{X})+(\bar{X}-\mu) e somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}=\sum_{i=1}^{n}\big[(X_{i}-\bar{X})+(\bar{X}-\mu)\big]^{2}.
Expandindo o quadrado e somando, obtém-se (os termos cruzados somam zero porque \sum_{i}(X_{i}-\bar{X})=0):
\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}=\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}+n(\bar{X}-\mu)^{2}.
Rearranjando,
\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}=\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}-n(\bar{X}-\mu)^{2}.

Passo 4

Tomando esperança (esperança é linear) da identidade do passo anterior:
\mathbb{E}\!\left(\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}\right) =\mathbb{E}\!\left(\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}\right)-\mathbb{E}\!\left(n(\bar{X}-\mu)^{2}\right).
Agora cálculo cada termo separadamente.

Passo 5

Cálculo do primeiro termo: \mathbb{E}\!\left(\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}\right).
  • Como os X_{i} são i.i.d., para cada i vale \mathbb{E}\big((X_{i}-\mu)^{2}\big)=\mathrm{Var}(X_{i})=\sigma^{2}.
  • Somando n termos idênticos:
\mathbb{E}\!\left(\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}\right)=n\sigma^{2}.

Passo 6

Cálculo do segundo termo: \mathbb{E}\!\left(n(\bar{X}-\mu)^{2}\right).
  • Primeiro, \mathrm{Var}(\bar{X})=\mathrm{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i})=\frac{\sigma^{2}}{n}.
  • Portanto \mathbb{E}\!\left((\bar{X}-\mu)^{2}\right)=\mathrm{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^{2}}{n}.
  • Multiplicando por n:
\mathbb{E}\!\left(n(\bar{X}-\mu)^{2}\right)=n\cdot\frac{\sigma^{2}}{n}=\sigma^{2}.

Passo 7

Combinando os resultados dos passos 5 e 6 na expressão do passo 4:
\mathbb{E}\!\left(\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}\right)=n\sigma^{2}-\sigma^{2}=(n-1)\sigma^{2}.
Agora, lembrando que \widehat{\sigma}^{2}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}, tomamos a esperança:
\mathbb{E}\!\left(\widehat{\sigma}^{2}\right)=\frac{1}{n}\,\mathbb{E}\!\left(\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}\right) =\frac{1}{n}\,(n-1)\sigma^{2}=\frac{n-1}{n}\,\sigma^{2}.

Passo 8

Conclusão sobre viés e correção:
  • Como \mathbb{E}\!\left(\widehat{\sigma}^{2}\right)=\dfrac{n-1}{n}\sigma^{2}\neq\sigma^{2}, o estimador \widehat{\sigma}^{2} é viciado.
  • O viés é
\text{Bias}\big(\widehat{\sigma}^{2}\big)=\mathbb{E}\!\left(\widehat{\sigma}^{2}\right)-\sigma^{2}=-\frac{\sigma^{2}}{n}.
  • Correção prática: multiplicando por \dfrac{n}{n-1} obtém-se um estimador não viciado. Ou seja, o estimador clássico não viciado da variância amostral é
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2},
pois \mathbb{E}(S^{2})=\sigma^{2}.
  • Intuição rápida: ao usar \bar{X} em vez de \mu perde-se um “grau de liberdade”, daí o fator (n-1).

Resposta

\widehat{\sigma}^{2} é viciado, pois
\mathbb{E}\!\left(\widehat{\sigma}^{2}\right)=\frac{n-1}{n}\,\sigma^{2},
logo o viés é \text{Bias}(\widehat{\sigma}^{2})=-\dfrac{\sigma^{2}}{n}. Uma versão não viciada é S^{2}=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}.

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