Seja
uma amostra aleatória simples de uma variável aleatória
. Dados os estimadores, verifique os seguintes itens:
é viciado.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: uma amostra aleatória simples
de uma variável com média e variância . - Estimador dado:
onde
.
- Objetivo: verificar se
é viciado (isto é, determinar se ou não).
Passo 2
O que significa “viciado”?
- Definição: o viés (bias) de um estimador
do parâmetro é
- Se
, o estimador é não viciado (unbiased). Caso contrário, é viciado.
Logo, para decidir seé viciado devemos calcular e compará-la com .
Passo 3
Uma identidade algébrica útil. Vou reescrever
em termos de
. Começo expandindo
como
e somando os quadrados:
Expandindo o quadrado e somando, obtém-se (os termos cruzados somam zero porque
):
Rearranjando,
Passo 4
Tomando esperança (esperança é linear) da identidade do passo anterior:
Agora cálculo cada termo separadamente.
Passo 5
Cálculo do primeiro termo:
.
- Como os
são i.i.d., para cada vale . - Somando
termos idênticos:
Passo 6
Cálculo do segundo termo:
.
- Primeiro,
. - Portanto
. - Multiplicando por
:
Passo 7
Combinando os resultados dos passos 5 e 6 na expressão do passo 4:
Agora, lembrando que
, tomamos a esperança:
Passo 8
Conclusão sobre viés e correção:
- Como
, o estimador é viciado. - O viés é
- Correção prática: multiplicando por
obtém-se um estimador não viciado. Ou seja, o estimador clássico não viciado da variância amostral é
pois
.
- Intuição rápida: ao usar
em vez de perde-se um “grau de liberdade”, daí o fator .
Resposta
logo o viés é
. Uma versão não viciada é
.