Resolva a desigualdade |x-3| < 2|x|.
(a) x in ]-infinito, -3[ U ]3, +infinito[;
(b) x in ]-infinito,-3[;
© x in ]-infinito,-3[ U ]1,+infinito[;
(d) x > 1;
(e) x em ]-infinito, -1[ U ]3, +infinito[.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Essa questão envolve valores absolutos e a resolução de desigualdades. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões de valor absoluto e aplicar propriedades das desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar os valores absolutos para facilitar a resolução. Sabemos que implica que , pois ambos os lados são positivos. Então, elevando ambos os lados ao quadrado temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir os quadrados:
Substituindo na desigualdade:

Passo 4

Vamos trazer todos os termos para um lado da desigualdade para simplificar:

Passo 5

Multiplicando todos os termos por (lembrando que ao multiplicar por um número negativo, a desigualdade inverte o sinal):
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Passo 6

Agora, vamos fatorar a expressão quadrática:
Então, a desigualdade fica:

Passo 7

Para resolver , analisamos os intervalos onde o produto é positivo:
  • Intervalo 1: — ambos os fatores são negativos, então o produto é positivo.
  • Intervalo 2: — um fator é positivo e o outro é negativo, então o produto é negativo.
  • Intervalo 3: — ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo.

Passo 8

Portanto, a solução da desigualdade é:

Resposta

A resposta correta é a opção © .

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