Calcule as integrais que seguem
integral 1x^3+9 x d x.

Passo 1

A gente precisa calcular integral 1x^3+9x,dx. Esse é um caso de integral de função racional, e para resolver usamos o método de frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador: x^3+9x = x,(x^2+9). Assim a integral vira integral 1x(x^2+9),dx.

Passo 3

Pela teoria de frações parciais, escrevemos:
1x(x^2+9) = Ax + Bx+Cx^2+9
Agora multiplicamos ambos os lados por x(x^2+9) e igualamos coeficientes:
1 = A(x^2+9) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + Cx + 9A
Desse modo temos o sistema:
  • A+B = 0
  • C = 0
  • 9A = 1
    Logo A=tfrac19, B=-tfrac19, C=0.

Passo 4

Substituindo de volta na integral, obtemos:
integral 1x(x^2+9),dx = integral l(1/9x - (1/9)xx^2+9r),dx = 19integral 1x,dx - 19integral xx^2+9,dx

Passo 5

Agora integramos cada parte:
  • integral 1x,dx = ln|x|.
  • Para integral xx^2+9,dx fazemos a substituição u=x^2+9, então du=2x,dx e integral xx^2+9,dx = tfrac12ln(x^2+9).
Juntando tudo:
19ln|x| - 19 cdot 12ln(x^2+9) + C = 19ln|x| - 118ln(x^2+9) + C

Passo 6

Podemos deixar a resposta final combinando os logaritmos ou assim mesmo, que já está bem simplificado.

Resposta

19ln|x| - 118ln(x^2+9) + C

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