Calcule a integral definida:
integral0^a / 2 b raiza^2-b^2 x^2 d x ; 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^a/(2b) raiza^2-b^2x^2,dx. O conteúdo envolvido é a integral de uma raiz de polinômio quadrático, e vamos usar substituição para chegar à forma padrão integralraiza^2-u^2,du.

Passo 2

Fazendo a substituição u=b,x, temos dx=du/b. Quando x=0, u=0; e quando x=a2b, u=a2. A integral fica
1bintegral0^a/2raiza^2-u^2,du

Passo 3

Sabemos que
integralraiza^2-u^2,du=u2raiza^2-u^2+a^22arcsin!l(tfracuar)+C

Passo 4

Agora vamos avaliar de u=0 a u=a/2. Primeiro
raiza^2-(a/2)^2=araiz32
Então
u2raiza^2-u^2gr|u=a/2=a^2raiz38,a^22arcsin!l(tfrac12r)=a^2pi12

Passo 5

Somando e subtraindo o valor em zero (que é zero), obtemos
a^2raiz38+a^2pi12

Passo 6

Por fim multiplicamos por 1/b e simplificamos.

Resposta

a^2bl(raiz38+pi12r)=a^2(3raiz3+2pi)24,b

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