Determine domínio, gráfico e curvas de nível da função de duas variáveis
. Represente graficamente essas curvas de nível em um plano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função de duas variáveis $ f(x, y) = \sqrt{1 - 9x^{2} - 4y^{2}} $. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de funções de várias variáveis, especialmente focando em onde a função está bem definida (domínio), como ela se comporta graficamente e como são as suas curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de $ x $ e $ y $ para os quais a função está definida. No caso da nossa função, temos uma raiz quadrada, e isso nos dá uma condição importante: o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero para que a função seja real e definida.
Passo 3
Então, para encontrar o domínio, vamos resolver a desigualdade dentro da raiz quadrada:
Isso garantirá que o valor dentro da raiz seja não negativo.
Passo 4
Resolvendo a desigualdade:
Essa é a equação de uma elipse centrada na origem (
) com eixos alinhados aos eixos coordenados. Os coeficientes
e
indicam os semi-eixos da elipse na direção de
e
, respectivamente.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função
é constante, ou seja, para algum valor
:
Isso também representa elipses, mas o tamanho delas depende do valor de
.
Passo 6
Para representar graficamente essas curvas de nível, podemos escolher diferentes valores para
dentro do domínio da função (ou seja,
). Cada valor de
nos dará uma elipse de tamanhos variados, todas concentradas na origem.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{1 - 9x^{2} - 4y^{2}} $ é o conjunto de todos os pares
que satisfazem
, formando uma elipse centrada na origem. O gráfico da função é uma superfície tridimensional com formato de meia-ovalo acima do plano
. As curvas de nível são elipses concêntricas à origem, variando em tamanho conforme o valor de
selecionado dentro do domínio.