Determine domínio, gráfico e curvas de nível da função de duas variáveis f(x, y)=raiz1-9 x^2-4 y^2. Represente graficamente essas curvas de nível em um plano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função de duas variáveis $ f(x, y) = \sqrt{1 - 9x^{2} - 4y^{2}} $. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de funções de várias variáveis, especialmente focando em onde a função está bem definida (domínio), como ela se comporta graficamente e como são as suas curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de $ x $ e $ y $ para os quais a função está definida. No caso da nossa função, temos uma raiz quadrada, e isso nos dá uma condição importante: o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero para que a função seja real e definida.

Passo 3

Então, para encontrar o domínio, vamos resolver a desigualdade dentro da raiz quadrada:
1 - 9x^2 - 4y^2 >= 0
Isso garantirá que o valor dentro da raiz seja não negativo.

Passo 4

Resolvendo a desigualdade:
1 - 9x^2 - 4y^2 >= 0 Rightarrow 9x^2 + 4y^2 <= 1
Essa é a equação de uma elipse centrada na origem ( 0, 0) com eixos alinhados aos eixos coordenados. Os coeficientes 19 e 14 indicam os semi-eixos da elipse na direção de x e y, respectivamente.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano xy onde a função f(x, y) é constante, ou seja, para algum valor c:
f(x, y) = c Rightarrow raiz1 - 9x^2 - 4y^2 = c Rightarrow 1 - 9x^2 - 4y^2 = c^2 Rightarrow 9x^2 + 4y^2 = 1 - c^2
Isso também representa elipses, mas o tamanho delas depende do valor de c.

Passo 6

Para representar graficamente essas curvas de nível, podemos escolher diferentes valores para c dentro do domínio da função (ou seja, 0 <= c <= 1). Cada valor de c nos dará uma elipse de tamanhos variados, todas concentradas na origem.

Resposta

O domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{1 - 9x^{2} - 4y^{2}} $ é o conjunto de todos os pares f(x, y) = raiz1 - 9x^2 - 4y^2 que satisfazem (x, y), formando uma elipse centrada na origem. O gráfico da função é uma superfície tridimensional com formato de meia-ovalo acima do plano 9x^2 + 4y^2 <= 1. As curvas de nível são elipses concêntricas à origem, variando em tamanho conforme o valor de xy selecionado dentro do domínio.

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