Calcule as integrais que seguem
integral 1x^4-3 x^3+3 x^2-x d x.

Passo 1

Pra gente calcular integral 1x^4-3 x^3+3 x^2-x , dx, a ideia é usar decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e usar as fórmulas de integração de potências x^n e de 1/x.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^4-3 x^3+3 x^2-x. Observando, temos
x^4-3 x^3+3 x^2-x = x(x^3-3 x^2+3 x-1) = x(x-1)^3
Então podemos escrever
1x(x-1)^3 = Ax + Bx-1 + C(x-1)^2 + D(x-1)^3

Passo 3

Para achar A,B,C,D, multiplicamos ambos os lados por x(x-1)^3 e igualamos polinômios:
1 = A(x-1)^3 + Bx(x-1)^2 + Cx(x-1) + Dx
Expandindo e comparando coeficientes, chegamos a:
A=-1, B=1, C=-1, D=1.

Passo 4

Substituindo de volta e integrando termo a termo:
integral 1x(x-1)^3 ,dx = integral l(-1x + 1x-1 - 1(x-1)^2 + 1(x-1)^3r) dx
Integramos:
integral -1xdx = -ln|x|,
integral 1x-1dx = ln|x-1|,
integral -1(x-1)^2dx = 1x-1,
integral 1(x-1)^3dx = -12(x-1)^2.

Passo 5

Juntando tudo, obtemos a solução geral da integral:
integral 1x^4-3 x^3+3 x^2-x , dx = -ln|x| + ln|x-1| + 1x-1 - 12(x-1)^2 + C

Resposta

-\ln|x| + \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2(x-1)^{2}} + C

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