Calcule as integrais a seguin:
\int \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{x}\, dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A integranda é \sqrt{x}.
  • Trata-se de uma integral indefinida (logo o resultado inclui uma constante de integração \,C).
  • Para \sqrt{x} entendemos o radical principal (domínio real: x\ge 0), e \sqrt{x} pode ser reescrito como x^{1/2}.

Passo 2

Escolhemos usar a regra da potência para integrais. Vou explicar essa regra com calma para você lembrar na prova.
A regra diz que, para qualquer número real n diferente de -1,
\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui:
  • x é a variável de integração,
  • n é o expoente da potência,
  • C representa qualquer constante aditiva (porque derivada de constante é zero).
Por que isso funciona? Fazendo a verificação (pequena “prova” pela diferenciação): se definirmos
F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1},
então pela regra da potência para derivadas temos
F'(x)=\frac{n+1}{n+1}\,x^{n} = x^{n},
logo F é uma primitiva de x^{n}. Portanto a fórmula está correta (para n\neq -1).

Passo 3

Agora aplicamos a regra ao nosso caso. Primeiro reescrevo a integranda:
\sqrt{x} = x^{1/2}.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Pelo passo anterior,
\int x^{1/2}\, dx = \frac{x^{\,1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C.
Calcule as operações no expoente e no denominador:
1/2 + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2}.
Portanto temos
\int x^{1/2}\, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C.
Agora simplificamos a divisão por uma fração: dividir por \tfrac{3}{2} é multiplicar por \tfrac{2}{3}. Assim
\frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}.
Também podemos escrever x^{3/2} como x\sqrt{x}, porque x^{3/2}=x^{1}\cdot x^{1/2}=x\sqrt{x}. Logo uma forma alternativa do resultado é
\frac{2}{3}x^{3/2}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C.

Passo 4

Vamos checar rapidamente derivando a resposta (isso é ótimo para ter certeza na prova). Seja
F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}.
Derivando:
F'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=x^{1/2}=\sqrt{x},
ou seja, a derivada de F é exatamente a integranda, como deve ser. Está confirmado.

Passo 5

Resumo prático para decorar e usar na prova: transforme radicais em potências fracionárias, aplique a regra da potência para integrais, simplifique a fração resultante e acrescente \,C. Você já consegue aplicar isso rapidinho no teste — confia que dá pra fazer.

Resposta

\dfrac{2}{3}x^{3/2}+C

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