Calcule as integrais a seguin:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A integranda é
. - Trata-se de uma integral indefinida (logo o resultado inclui uma constante de integração
). - Para
entendemos o radical principal (domínio real: ), e pode ser reescrito como .
Passo 2
Escolhemos usar a regra da potência para integrais. Vou explicar essa regra com calma para você lembrar na prova.
A regra diz que, para qualquer número real
diferente de
,
onde
é a constante de integração. Aqui:
-
é a variável de integração, -
é o expoente da potência, -
representa qualquer constante aditiva (porque derivada de constante é zero).
Por que isso funciona? Fazendo a verificação (pequena “prova” pela diferenciação): se definirmos
então pela regra da potência para derivadas temos
logo
é uma primitiva de
. Portanto a fórmula está correta (para
).
Passo 3
Agora aplicamos a regra ao nosso caso. Primeiro reescrevo a integranda:
Aqui
. Pelo passo anterior,
Calcule as operações no expoente e no denominador:
Portanto temos
Agora simplificamos a divisão por uma fração: dividir por
é multiplicar por
. Assim
Também podemos escrever
como
, porque
. Logo uma forma alternativa do resultado é
Passo 4
Vamos checar rapidamente derivando a resposta (isso é ótimo para ter certeza na prova). Seja
Derivando:
ou seja, a derivada de
é exatamente a integranda, como deve ser. Está confirmado.
Passo 5
Resumo prático para decorar e usar na prova: transforme radicais em potências fracionárias, aplique a regra da potência para integrais, simplifique a fração resultante e acrescente
. Você já consegue aplicar isso rapidinho no teste — confia que dá pra fazer.