Calcule as integrais a seguin:
\int x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida \int x^{2}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é \;x^{2}\; e a variável de integração é x. Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter uma constante de integração.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar: a regra da potência para integrais. Ela diz o seguinte (esta é a fórmula que usamos sempre que integrarmos potências de x, exceto um caso especial que já vou avisar):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
onde n é um número real diferente de -1, e C é a constante de integração.
Explicando cada parte: x^{n} é a potência que estamos integrando; n+1 é o novo expoente que aparece na primitiva; dividir por n+1 ajusta a derivada (verificação abaixo); C aparece porque integrais indefinidas não são únicas — você pode somar qualquer constante e ainda obter a mesma derivada.

Passo 3

Por que essa fórmula funciona? Rapidinho: se tomarmos a função \frac{x^{n+1}}{n+1} e derivarmos, usando a regra da potência para derivadas,
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}\,x^{(n+1)-1}=x^{n},
logo a derivada da função à direita é justamente x^{n}, então a função é uma primitiva de x^{n}. É por isso que a fórmula vale (para n\neq-1, pois aí dividir por n+1 seria impossível).

Passo 4

Agora aplicamos a regra ao caso específico. Aqui temos n=2. Substituindo na fórmula:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C.
Calcule 2+1 no numerador e denominador:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.

Passo 5

Verificação — sempre bom confirmar na prova: derivamos a primitiva encontrada para ver se voltamos ao integrando. Derivando \frac{x^{3}}{3}+C:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3}+C\right)=\frac{3x^{2}}{3}+0 = x^{2},
que é exatamente o integrando. Está correto.

Passo 6

Comentário prático (dica para a prova): para polinômios, integre termo a termo usando a mesma regra. Exemplo rápido:
\int (3x^{2}+5x)\,dx = 3\int x^{2}\,dx + 5\int x\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} + 5\cdot\frac{x^{2}}{2} + C = x^{3} + \frac{5x^{2}}{2} + C.
Isso demonstra como aplicar a técnica em exercícios um pouco maiores.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}+C

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