Calcule as integrais a seguin:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
.
Informações dadas: a função a integrar é e a variável de integração é
. Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter uma constante de integração.
Informações dadas: a função a integrar é
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar: a regra da potência para integrais. Ela diz o seguinte (esta é a fórmula que usamos sempre que integrarmos potências de
, exceto um caso especial que já vou avisar):
onde
é um número real diferente de
, e
é a constante de integração.
Explicando cada parte: é a potência que estamos integrando;
é o novo expoente que aparece na primitiva; dividir por
ajusta a derivada (verificação abaixo);
aparece porque integrais indefinidas não são únicas — você pode somar qualquer constante e ainda obter a mesma derivada.
Explicando cada parte:
Passo 3
Por que essa fórmula funciona? Rapidinho: se tomarmos a função
e derivarmos, usando a regra da potência para derivadas,
logo a derivada da função à direita é justamente
, então a função é uma primitiva de
. É por isso que a fórmula vale (para
, pois aí dividir por
seria impossível).
Passo 4
Agora aplicamos a regra ao caso específico. Aqui temos
. Substituindo na fórmula:
Calcule
no numerador e denominador:
Passo 5
Verificação — sempre bom confirmar na prova: derivamos a primitiva encontrada para ver se voltamos ao integrando. Derivando
:
que é exatamente o integrando. Está correto.
Passo 6
Comentário prático (dica para a prova): para polinômios, integre termo a termo usando a mesma regra. Exemplo rápido:
Isso demonstra como aplicar a técnica em exercícios um pouco maiores.