Calcule as integrais a seguin:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função a integrar é e a variável de integração é
.
O resultado procurado é uma primitiva (antiderivada) de , isto é, uma função cujo derivada seja
. Não há mais condições (então incluímos uma constante de integração).
Informações dadas: a função a integrar é
O resultado procurado é uma primitiva (antiderivada) de
Passo 2
Vou usar duas propriedades básicas de integrais que precisamos conhecer bem.
Propriedade 1 — linearidade: para quaisquer constantes
e funções
,
Propriedade 2 — regra da potência (caso geral): para
,
onde
é a constante de integração. No caso particular
teremos
.
Passo 3
Aplico a linearidade à integral dada, separando os termos:
Passo 4
Trato o primeiro termo
. Pelo fato de
ser constante, posso tirar fora da integral:
Agora uso a regra da potência para
:
Portanto
(Observe que a constante
pode ser combinada depois com a outra constante.)
Passo 5
Trato o segundo termo
. Como
é constante, vale a regra
para constante
. Assim
Passo 6
Combino os resultados dos dois termos e adiciono a constante de integração
(única, que engloba todas as outras constantes):
Passo 7
Verificação rápida por derivação (útil para conferir na prova): derivo a primitiva encontrada e devo obter a função original.
que é exatamente a integranda. Tudo batendo!