Calcule as integrais a seguin:
\int(3 x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \int(3x+2)\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é 3x+2 e a variável de integração é x.
O resultado procurado é uma primitiva (antiderivada) de \;3x+2, isto é, uma função cujo derivada seja \;3x+2. Não há mais condições (então incluímos uma constante de integração).

Passo 2

Vou usar duas propriedades básicas de integrais que precisamos conhecer bem.
Propriedade 1 — linearidade: para quaisquer constantes a,b e funções f,g,
\int\big(a\,f(x)+b\,g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Propriedade 2 — regra da potência (caso geral): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. No caso particular n=1 teremos \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}+C.

Passo 3

Aplico a linearidade à integral dada, separando os termos:
\int(3x+2)\,dx = \int 3x\,dx + \int 2\,dx.

Passo 4

Trato o primeiro termo \int 3x\,dx. Pelo fato de 3 ser constante, posso tirar fora da integral:
\int 3x\,dx = 3\int x\,dx.
Agora uso a regra da potência para n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C_1.
Portanto
3\int x\,dx = 3\left(\frac{x^{2}}{2}\right) = \frac{3}{2}x^{2}.
(Observe que a constante C_1 pode ser combinada depois com a outra constante.)

Passo 5

Trato o segundo termo \int 2\,dx. Como 2 é constante, vale a regra
\int a\,dx = a x + C,
para constante a. Assim
\int 2\,dx = 2x.

Passo 6

Combino os resultados dos dois termos e adiciono a constante de integração C (única, que engloba todas as outras constantes):
\int(3x+2)\,dx = \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (útil para conferir na prova): derivo a primitiva encontrada e devo obter a função original.
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{2}x^{2}+2x+C\right) = \frac{3}{2}\cdot 2x + 2 = 3x+2,
que é exatamente a integranda. Tudo batendo!

Resposta

\frac{3}{2}x^{2}+2x+C

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