Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.
F=[0, x, 0], S: x^2+y^2+z^2=a^2, x >= 0, y >= 0, z >= 0

Passo 1

O problema pede para calcular o fluxo da campo vetorial vec F = [0,x,0] através da superfície S definida por x^2 + y^2 + z^2 = a^2 restrita ao primeiro octante (x>=0,;y>=0,;z>=0). Trata-se, portanto, de um trecho aberto de esfera, e vamos usar a fórmula de fluxo integral duplaS vec Fcdothat n,dS.

Passo 2

Para parametrizar S, adoto coordenadas esféricas com ângulos phiin[0,pi/2] e thetain[0,pi/2]:
vec r(phi,theta)=al(sinphicostheta,;sinphisintheta,;cosphir)
O vetor área orientado é dado por vec rphitimesvec rtheta,dphi,dtheta.

Passo 3

Calculo os vetores parciais e o produto vetorial:
vec rphitimesvec rtheta = a^2l(sin^2phicostheta,;sin^2phisintheta,;sinphicosphir)
Como vec F(vec r)=l[0,,asinphicostheta,,0r], temos
vec Fcdot(vec rphitimesvec rtheta) = a^3sin^3phicosthetasintheta

Passo 4

Montamos a integral do fluxo e separamos em theta e phi:
integral duplaS vec Fcdothat n,dS = integral0^pi/2!integral0^pi/2 a^3sin^3phicosthetasintheta,dphi,dtheta
Calculando:
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta = tfrac12,
integral0^pi/2sin^3phi,dphi = tfrac23,
o fluxo resulta em a^3cdottfrac12cdottfrac23 = tfraca^33.

Resposta

a^33

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