Utilizando um software computacional, represente graficamente as seguintes curvas, mais complicadas.
(a)
(hipociclóide de Steiner)
(b)
, sen
©
, sen
(uma curva de Lissajous)
(d)
, sen
. Para quaisquer k’s ela será fechada?
(e)
(ciclóide).
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Vou resumir o que o exercício pede e indicar o conteúdo: precisamos usar um software (Matplotlib, Mathematica, GeoGebra etc.) para plotar curvas paramétricas mais sofisticadas: a hipociclóide de Steiner, uma família com parâmetro k, curvas de Lissajous e a ciclóide. Para isso vamos definir cada
intervalo de t adequado e desenhar x(t) e y(t).
intervalo de t adequado e desenhar x(t) e y(t).
Passo 2
Explico o procedimento geral de plotagem: escolha um vetor de valores de t, por exemplo t variando de 0 até 2π (ou 2π/ω para a ciclóide), discretize bastante (300–1000 pontos), calcule as coordenadas x(t) e y(t) em cada t, e use o comando de plotagem (plot, ParametricPlot, CurvePlot etc.) ligando os pontos.
Passo 3
(a) Defina
Escolha t∈[0,2π], calcule (x(t),y(t)) e faça o gráfico. Você deverá ver o deltoide (hipociclóide de Steiner) com três “pontas”.
Passo 4
(b) Para cada valor de k∈{10,2,1,1/2,0,−1/2,−1} defina
e plote todos os k no mesmo sistema ou separadamente. Varie t∈[0,2π] e note como o formato vai mudando: para |k| grande fica mais “esticada” e para k negativo inverte simetrias.
Passo 5
© Para a Lissajous use
com t∈[0,2π]. Você verá um laço com 5 “arcos” no eixo vertical.
Passo 6
(d) No geral a curva
é fechada se e somente se k for racional, digamos k=p/q∈ℚ. Nesse caso o período comum é 2πq e o gráfico se fecha após q voltas em x e p voltas em y. Se k for irracional, a curva não fecha e preenche densamente a “faixa”.
Passo 7
(e) Para a ciclóide escreva
Repare que em t=0 temos um ponto de inflexão (ou cúspide invertida) e o período em t é 2π/ω. Basta plotar para t∈[0,2π/ω] para ver uma volta completa da ciclóide. No software use R e ω fixos (por exemplo R=1, ω=1) e depois experimente outros valores.
Passo 8
final_answer
Resposta
Apenas reforçando: os gráficos são obtidos conforme explicado em cada item, e em (d) a curva só fecha quando k∈ℚ (razão de frequências racional).