Utilizando um software computacional, represente graficamente as seguintes curvas, mais complicadas.
(a) r(t)=[2 cos t+cos 2 t, 2 sen t-sen 2 t] (hipociclóide de Steiner)
(b) r(t)=[cos t+k cos 2 t, sen t-k sen 2 t] com k=10,2,1, 12, 0, -12,-1
© r(t)=[cos t, sen 5 t] (uma curva de Lissajous)
(d) r(t)=[cos t, sen k t]. Para quaisquer k’s ela será fechada?
(e) r(t)=[R sen omega t+omega R t, R cos omega t+R] (ciclóide).

Passo 1

Vou resumir o que o exercício pede e indicar o conteúdo: precisamos usar um software (Matplotlib, Mathematica, GeoGebra etc.) para plotar curvas paramétricas mais sofisticadas: a hipociclóide de Steiner, uma família com parâmetro k, curvas de Lissajous e a ciclóide. Para isso vamos definir cada
intervalo de t adequado e desenhar x(t) e y(t).

Passo 2

Explico o procedimento geral de plotagem: escolha um vetor de valores de t, por exemplo t variando de 0 até 2π (ou 2π/ω para a ciclóide), discretize bastante (300–1000 pontos), calcule as coordenadas x(t) e y(t) em cada t, e use o comando de plotagem (plot, ParametricPlot, CurvePlot etc.) ligando os pontos.

Passo 3

(a) Defina
x(t)=2cos t+cos2t, y(t)=2sin t-sin2t
Escolha t∈[0,2π], calcule (x(t),y(t)) e faça o gráfico. Você deverá ver o deltoide (hipociclóide de Steiner) com três “pontas”.

Passo 4

(b) Para cada valor de k∈{10,2,1,1/2,0,−1/2,−1} defina
xk(t)=cos t+kcos2t, yk(t)=sin t-ksin2t
e plote todos os k no mesmo sistema ou separadamente. Varie t∈[0,2π] e note como o formato vai mudando: para |k| grande fica mais “esticada” e para k negativo inverte simetrias.

Passo 5

© Para a Lissajous use
x(t)=cos t, y(t)=sin5t
com t∈[0,2π]. Você verá um laço com 5 “arcos” no eixo vertical.

Passo 6

(d) No geral a curva
x(t)=cos t, y(t)=sin(kt)
é fechada se e somente se k for racional, digamos k=p/q∈ℚ. Nesse caso o período comum é 2πq e o gráfico se fecha após q voltas em x e p voltas em y. Se k for irracional, a curva não fecha e preenche densamente a “faixa”.

Passo 7

(e) Para a ciclóide escreva
x(t)=Rsin(omega t)+omega R,t, y(t)=Rcos(omega t)+R
Repare que em t=0 temos um ponto de inflexão (ou cúspide invertida) e o período em t é 2π/ω. Basta plotar para t∈[0,2π/ω] para ver uma volta completa da ciclóide. No software use R e ω fixos (por exemplo R=1, ω=1) e depois experimente outros valores.

Passo 8

final_answer

Resposta

Apenas reforçando: os gráficos são obtidos conforme explicado em cada item, e em (d) a curva só fecha quando k∈ℚ (razão de frequências racional).

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