Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo vetorial vec F=[e^y,,-e^z,,e^x] através da superfície S dada por x^2+y^2=9, com x>=0, y>=0 e 0<= z<=2. O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo), e vamos precisar parametrizar essa superfície cilíndrica de raio 3 no primeiro quadrante e calcular integral duplaSvec Fcdot dvec S.

Passo 2

Observando a equação x^2+y^2=9 com x>=0, y>=0, vemos que S é um cilindro de raio 3 limitado ao primeiro quadrante. Uma parametrização natural é
x=3costheta,y=3sintheta,z=z, 0<=theta<=tfracpi2, 0<= z<=2

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e o elemento de área orientado. Temos
$$\vec r_\theta=(-3\sin\theta,,3\cos\theta,,0),\quad \vec r_z=(0,0,1).
$$ O produto vetorial dá
$$\vec r_\theta\times\vec r_z=(3\cos\theta,,3\sin\theta,,0),\quad |\vec r_\theta\times\vec r_z|=3.
$$ O vetor normal unitário (apontando pra fora) é
$$\hat n=\frac{1}{3}(3\cos\theta,,3\sin\theta,0)=(\cos\theta,,\sin\theta,,0).
$$

Passo 4

No ponto parametrizado, x=3costheta, y=3sintheta, z=z, o campo é vec F=(e^3sintheta,,-e^z,,e^3costheta). Então
$$\vec F\cdot(\vec r_\theta\times\vec r_z)=3e{3\sin\theta}\cos\theta-3ez\sin\theta.
$$ O fluxo é
$$\iint_S\vec F\cdot d\vec S=\int_{0}{\pi/2}\int_{0}{2}\bigl(3e{3\sin\theta}\cos\theta-3ez\sin\theta\bigr)dz,d\theta.
$$

Passo 5

Primeiro integramos em z:
$$\int_{0}{2}3e{3\sin\theta}\cos\theta,dz=6e^{3\sin\theta}\cos\theta,\quad \int_{0}{2}-3ez\sin\theta,dz=-3\sin\theta(e^2-1).
$$ Logo o fluxo fica
$$\int_{0}{\pi/2}\Bigl(6e{3\sin\theta}\cos\theta-3\sin\theta(e^2-1)\Bigr)d\theta.
$$

Passo 6

Para o primeiro termo, faça u=3sintheta, du=3costheta,dtheta:
$$6\int_{0}{\pi/2}e{3\sin\theta}\cos\theta,d\theta=2\int_{0}{3}eu du=2(e^3-1).
$$ Para o segundo termo,
$$ -3(e2-1)\int_{0}{\pi/2}\sin\theta,d\theta=-3(e2-1)\cdot1=-3(e2-1).
$$ Somando, obtemos
$$2(e3-1)-3(e2-1)=2e3-3e2+1.
$$

Resposta

Superfície cilíndrica. Fluxo de vec F através de S: 2e^3 - 3e^2 + 1.

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