Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^prime prime-16 y=r(t), r(t)=48 e^2 t se 0 e 0 se t> 4 y(0)=3, y^prime(0)=-4

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a EDO y’’–16y=r(t) com r(t)=48e^{2t} para 0<t<4 e r(t)=0 para t>4, sujeita a y(0)=3 e y’(0)=–4. O conteúdo é resolução de EDO por transformada de Laplace e uso de funções de Heaviside.

Passo 2

Escrevemos r(t) usando a função de Heaviside u(t–4):
r(t)=48e^2tl(1u(t4)r)=48e^2t48e^2tu(t4)
A transformada é
Lr(t)=48s248s2e^-4s

Passo 3

Aplicamos Laplace em y’’–16y=r(t) e usamos y(0)=3, y’(0)=–4:
s^2Y(s)3s+416Y(s)=48s248s2e^-4s
Isolando Y(s):
Y(s)=3s4s^216+48(s2)(s^216)48(s2)(s^216)e^-4s

Passo 4

A parte dfrac3s4s^216 gera a solução homogênea. Invertendo:
yh(t)=3cosh(4t)-sinh(4t)

Passo 5

Para a parte sem deslocamento, decompondo
48(s2)(s^216)=-4s2+3s4+1s+4,
obtemos por inversão:
yp1(t)=-4e^2t+3e^4t+e^-4t

Passo 6

O termo com e^-4s dá, pelo Teorema do Deslocamento,
yp2(t)=u(t-4),yp1(t-4)=u(t-4)l(-4e^2(t-4)+3e^4(t-4)+e^-4(t-4)r)

Passo 7

Finalmente, combinando homogênea e particular (ativando e desativando a força):
y(t)=yh(t)+yp1(t)-yp2(t) =3cosh(4t)-sinh(4t)-4e^2t+3e^4t+e^-4t - u(t-4)l(-4e^2(t-4)+3e^4(t-4)+e^-4(t-4)r)

Resposta

y(t)=3cosh(4t)-sinh(4t)-4e^2t+3e^4t+e^-4t - u(t-4)l(-4e^2(t-4)+3e^4(t-4)+e^-4(t-4)r)

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