Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
se
e 0 se
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a EDO y’’–16y=r(t) com r(t)=48e^{2t} para 0<t<4 e r(t)=0 para t>4, sujeita a y(0)=3 e y’(0)=–4. O conteúdo é resolução de EDO por transformada de Laplace e uso de funções de Heaviside.
Passo 2
Escrevemos r(t) usando a função de Heaviside u(t–4):
A transformada é
Passo 3
Aplicamos Laplace em y’’–16y=r(t) e usamos y(0)=3, y’(0)=–4:
Isolando Y(s):
Passo 4
A parte
gera a solução homogênea. Invertendo:
Passo 5
Para a parte sem deslocamento, decompondo
obtemos por inversão:
Passo 6
O termo com
dá, pelo Teorema do Deslocamento,
Passo 7
Finalmente, combinando homogênea e particular (ativando e desativando a força):