Que curvas são representadas pelas expressões a seguir?

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica vec r(t)=l[t,,t^2,,t^3r] em R^3. O conteúdo aqui é curvas paramétricas no espaço, e para identificar que curva é, vamos passar para equações cartesianas e reconhecer sua forma.

Passo 2

Da parametrização temos x=t. Logo, substituindo na coordenada y e z obtemos as equações
y = t^2 = x^2,
z = t^3 = x^3

Passo 3

Portanto, a curva é a interseção das superfícies y = x^2 (um paraboloide cilíndrico) e z = x^3 (um cilindro cúbico). Em geometria algébrica essa curva é conhecida como a cúbica retorcida (twisted cubic).
Podemos observar também que sua projeção no plano xy é a parábola y=x^2 e no plano xz é a cúbica z=x^3, mas no espaço ela forma uma curva não plana que chamamos de cúbica retorcida.

Resposta

É a curva no espaço conhecida como cúbica retorcida (twisted cubic), definida pelas equações y=x^2 e z=x^3.

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