Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de fluxo da campo vetorial vec F = [x,y,z] sobre a superfície parametrizada por vec r(u,v) = (ucos v,,usin v,,u^2), com 0<= u<=4 e -pi<= v<=pi. O conteúdo aqui é integral de superfície de um campo vetorial (fluxo), e vamos precisar usar a definição
integral duplaS vec Fcdothat n,dS = integral duplaD vec F(vec r(u,v))cdotl(vec rutimesvec rvr),du,dv

Passo 2

Primeiro identificamos que a superfície é um paraboloide de revolução dado por
z = x^2 + y^2,
limitado por x^2+y^2<=16 (daí 0<= u<=4) e v variando em [-pi,pi].

Passo 3

Agora vamos calcular os vetores parciais:
vec ru = (cos v,,sin v,,2u),
vec rv = (-usin v,,ucos v,,0)

Passo 4

O produto vetorial é
vec rutimesvec rv = (-2u^2cos v,,-2u^2sin v,,u)
Isso corresponde a um vetor normal (orientação dada pela ordem (u,v)).

Passo 5

Substituímos na integral de fluxo:
vec F(vec r(u,v)) = (ucos v,,usin v,,u^2),
então
vec Fcdot(vec rutimesvec rv) = ucos v(-2u^2cos v) + usin v(-2u^2sin v) + u^2cdot u = -2u^3(cos^2v+sin^2v) + u^3 = -2u^3 + u^3 = -u^3

Passo 6

Finalmente, integramos sobre 0<= u<=4 e -pi<= v<=pi:
integral duplaS vec Fcdothat n,dS = integralu=0^4 integralv=-pi^pi (-u^3),dv,du = -integral0^4 u^3,du cdot integral-pi^pidv = -4^44 cdot 2pi = -128pi

Resposta

A superfície é um paraboloide de revolução ( z=x^2+y^2) e o fluxo de vec F sobre S é -128pi.

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