Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
se
e 0 se
Passo 1
O exercício nos dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e força descontínua:
– Equação:
– Força:
– Condições iniciais:
O conteúdo é a transformada de Laplace aplicada a EDO com força por partes. Vamos precisar da transformada de Laplace, da função de Heaviside e do teorema de deslocamento.
Passo 2
Para lidar com a força, escrevemos
Usando o teorema de deslocamento,
Logo,
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace na EDO:
ou seja
Substituindo
e
:
portanto
Passo 4
Agora separamos em duas partes: a parte homogênea de dados iniciais
resolvendo:
E a parte de entrada não retardada
com
Passo 5
Combinando tudo, obtemos
Cada fração corresponde a um exponencial no tempo e o fator
indica deslocamento por 2 unidades.
Passo 6
Invertendo a transformada de Laplace:
– Sem atraso:
– Com atraso de 2: aplica-se
Logo a parte retardada dá
Assim chegamos à solução.