Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^prime prime+8 y^prime+15 y=r(t), r(t)=35 e^2 t se 0 e 0 se t> 2 y(0)=3, y^prime(0)=-8

Passo 1

O exercício nos dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e força descontínua:
– Equação:
y''+8y'+15y=r(t),
– Força:
r(t)=35e^2t,&02,
– Condições iniciais:
y(0)=3, y'(0)=-8
O conteúdo é a transformada de Laplace aplicada a EDO com força por partes. Vamos precisar da transformada de Laplace, da função de Heaviside e do teorema de deslocamento.

Passo 2

Para lidar com a força, escrevemos
r(t)=35e^2t-35e^2tu(t-2)
Usando o teorema de deslocamento,
L35e^2t=35s-2, L35e^2tu(t-2)=35e^-2se^4s-2
Logo,
R(s)=35s-2-35e^-2se^4s-2

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace na EDO:
Ly''+8Ly'+15Ly=R(s),
ou seja
s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+8l[sY(s)-y(0)+15Y(s)=R(s).]
Substituindo y(0)=3 e y'(0)=-8:
(s^2+8s+15)Y(s)-3s+8-24=R(s),
portanto
Y(s)=R(s)+3s+16(s+3)(s+5)

Passo 4

Agora separamos em duas partes: a parte homogênea de dados iniciais
3s+16(s+3)(s+5)=As+3+Bs+5,
resolvendo:
3s+16=A(s+5)+B(s+3)implies A=tfrac72,;B=-tfrac12
E a parte de entrada não retardada
35(s-2)(s+3)(s+5)=Cs-2+Ds+3+Es+5,
com
C=1,,D=-tfrac72,,E=tfrac52

Passo 5

Combinando tudo, obtemos
Y(s)=1s-2+2s+5-e^-2se^4l(1s-2-721s+3+521s+5r)
Cada fração corresponde a um exponencial no tempo e o fator e^-2s indica deslocamento por 2 unidades.

Passo 6

Invertendo a transformada de Laplace:
– Sem atraso:
L^-11/(s-2)=e^2t, L^-12/(s+5)=2e^-5t
– Com atraso de 2: aplica-se
L^-1e^-2sF(s)=u(t-2)f(t-2)
Logo a parte retardada dá
e^4l(e^2(t-2)-tfrac72e^-3(t-2)+tfrac52e^-5(t-2)r)u(t-2)
Assim chegamos à solução.

Passo 7

Resposta

y(t)=e^2t+2e^-5t-u(t-2),e^4l(e^2(t-2)-tfrac72e^-3(t-2)+tfrac52e^-5(t-2)r), t>0

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