Mostre como encontrar a solução geral das equações diferenciais separáveis

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da EDO separável y'=3x^2-13+2y. Vamos usar o método de separação de variáveis: isolar y e x em lados opostos e depois integrar.

Passo 2

Reescrevemos y'=dydx e separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por (3+2y),dx:
(3+2y),dy = (3x^2 - 1),dx
Agora temos todos os termos em y do lado esquerdo e em x do lado direito.

Passo 3

Integramos cada lado em relação à sua variável:
integral (3+2y),dy = integral (3x^2 - 1),dx

Passo 4

Calculamos as primitivas:
Do lado esquerdo:
integral 3,dy = 3y, integral 2y,dy = y^2
Do lado direito:
integral 3x^2,dx = x^3, integral (-1),dx = -x

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C:
y^2 + 3y = x^3 - x + C
Essa é a forma implícita da solução geral.

Passo 6

Se quisermos a forma explícita em y, resolvemos a equação quadrática
y^2 + 3y - (x^3 - x + C) = 0
pela fórmula de Bhaskara, obtendo
y = -3 pm raiz9 + 4l(x^3 - x + Cr)2

Resposta

A solução geral em forma implícita é
y^2 + 3y = x^3 - x + C,
ou, de modo explícito,
y = -3 pm raiz9 + 4l(x^3 - x + Cr)2

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