Que curvas são representadas pelas expressões a seguir?
$ \vec{r}(t)=[t, 1 / t, 0]$

Passo 1

O enunciado nos dá uma função vetorial vec r(t)=[t,,1/t,,0]. O conteúdo envolve curvas paramétricas em R^3 e vamos usar a técnica de eliminação do parâmetro para identificar a curva.

Passo 2

Escrevendo as equações paramétricas temos: x(t)=t, y(t)=1/t e z(t)=0. Isso mostra que a curva vive no plano z=0.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro, basta observar o produto de x por y:
x,y ,=,tcdot1t ,=,1

Passo 4

Logo a curva satisfaz xy=1, que é a equação de uma hipérbole retangular no plano z=0. Devemos lembrar que tneq0, então a hipérbole tem dois ramos: um em que (x,y) está nos quadrantes 1 (quando t>0) e outro no quadrante 3 (quando t<0).

Resposta

A curva é a hipérbole retangular definida por xy=1 no plano z=0.

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